奥数全年级一百七十九专题题库教师版434任意四边形梯形与相似模型二教师版

板块二梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：ABCDObaS3S2S1S4①2213::SSab②221324::::::SSSSababab；③S的对应份数为2ab．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例1】如图，22S，34S，求梯形的面积．S4S3S2S1【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答【解析】设1S为2a份，3S为2b份，根据梯形蝴蝶定理，234Sb，所以2b；又因为22Sab，所以1a；那么211Sa，42Sab，所以梯形面积123412429SSSSS，或者根据梯形蝴蝶定理，22129Sab．【答案】9【巩固】如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB△与BOC△的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．3525OABCD【考点】梯形模型【难度】2星【题型】填空【解析】根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOBBOCSSaab，可得:5:7ab，再根据梯形蝴蝶定理，例题精讲任意四边形、梯形与相似模型2222::5:725:49AOBDOCSSab，所以49DOCS(平方厘米)．那么梯形ABCD的面积为25353549144(平方厘米)．【答案】144【巩固】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积。ABCDO【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答【关键词】华杯赛，决赛，15分，第3大题第，1题【解析】根据题意，AB=5，CD=3，CD:AB=3:5，则根据蝴蝶模型22::::::9:15:25:15DOCAODAOBCOBSSSSaabbab，令AOBS=25份，则梯形ABCD共有：9+15+25+15=64份。所以1份为：4÷64=116，则三角形OAB的面积为116×25=2516。【答案】2516【例2】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的23，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．OABCD【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【解析】根据梯形蝴蝶定理，2::2:3AOBBOCSSabb，可以求出:2:3ab，再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9AODBOCSSab．通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．【答案】4:9【例3】如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知1AO，并且35ABDCBD三角形的面积三角形的面积，那么OC的长是多少？ABCDO【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】根据蝴蝶定理，ABDAOCBDCO三角形的面积三角形的面积，所以35AOCO，又1AO，所以53CO．【答案】53【例4】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是29cm，问三角形AOD的面积是多少？ABCDO【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答【解析】根据梯形蝴蝶定理，:1:1.52:3ab，2222::2:34:9AODBOCSSab，所以24cmAODS．【答案】4【巩固】如图，梯形ABCD中，AOB、COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积．ODCBA【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答【解析】根据梯形蝴蝶定理，22::4:9AOBACODSSab，所以:2:3ab，2:::3:2AODAOBSSababa，31.21.82AODCOBSS，1.21.81.82.77.5ABCDS梯形．【答案】7.5【例5】在梯形ABCD中，上底长5厘米，下底长10厘米，20BOCS平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米。【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，决赛，第4题，10分【解析】因为AD∥BC，故BODOCOAOBCAD又21105BCAD，故21BODOCOAO在BOC与DOC中，因其高相等，且BO:DO=2:1，故BOCS:DOCS=2:1而220cmSBOC，故210cmSDOC。同理，在COD与AOD中，因CO:AO=2:1，且在相应边上的高相等，故CODS:AODS=2:1即251021cmSAOD.在BOCAOB与中，因AO:CO=1:2，且其在相应边上的高相等，故AOBS:BOCS=1:2。即210cmSAOB综上，AODCODBOCAOBSSSSS梯形=10+20+10+5=452cm【答案】45【例6】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积．HGFEDCBAHGFEDCBA【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【解析】如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是112334．【答案】34【巩固】如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．321321【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空【关键词】人大附中，入学测试题【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是4361645，3的面积就是5362045．【答案】20【例7】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．GMDCBA【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【解析】因为M是AD边上的中点，所以:1:2AMBC，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMGABGMCGBCGSSSS△△△△（）（），设1AGMS△份，则123MCDS△份，所以正方形的面积为1224312份，224S阴影份，所以:1:3SS阴影正方形，所以1S阴影平方厘米．【答案】1【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．ABCDEF【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空【解析】连接DE，根据题意可知:1:2BEAD，根据蝴蝶定理得2129S梯形（）(平方厘米)，3ECDS△(平方厘米)，那么12ABCDS(平方厘米)．【答案】12【例8】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，,EF是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积．OFEDCBA【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【解析】因为,EF是DC边上的三等分点，所以:1:3EFAB，设1OEFS△份，根据梯形蝴蝶定理可以知道3AOEOFBSS△△份，9AOBS△份，(13)ADEBCFSS△△份，因此正方形的面积为244(13)24份，6S阴影，所以:6:241:4SS阴影正方形，所以3S阴影平方厘米．【答案】3【例9】如图，在长方形ABCD中，6AB厘米，2AD厘米，AEEFFB，求阴影部分的面积．BCADEFOBCADEFO【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：如图，连接DE，DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为26322平方厘米．由于:1:3EFDC，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEOEFOSS，所以34DEODEFSS，而2DEFADESS平方厘米，所以321.54DEOS平方厘米，阴影部分的面积为21.53.5平方厘米．方法二：如图，连接DE，FC，由于:1:3EFDC，设1OEFS△份，根据梯形蝴蝶定理，3OEDS△份，2(13)16EFCDS梯形份，134ADEBCFSS△△份，因此416424ABCDS长方形份，437S阴影份，而6212ABCDS长方形平方厘米，所以3.5S阴影平方厘米【答案】3.5【例10】已知ABCD是平行四边形，:3:2BCCE，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．OEABCDOEABCD【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，六年级【解析】连接AC．由于ABCD是平行四边形，:3:2BCCE，所以:2:3CEAD，根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODSSSS，所以6AOCS(平方厘米)，9AODS(平方厘米)，又6915ABCACDSS(平方厘米)，阴影部分面积为61521(平方厘米)．【答案】21【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．21ABCDE9421ABCDEO94【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空【解析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAESS．根据蝴蝶定理，4936OCDOAEOCEOADSSSS，故236OCDS，所以6OCDS(平方厘米)．【答案】6【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．1682ABCDEO1682ABCDE【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空【关键词】三帆中学【解析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAESS．根据蝴蝶定理，2816OCDOAEOCEOADSSSS，故216OCDS，所以4OCDS(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED中，111681222ADEABEDSS(平方厘米)，所以1284AOEADEAODSSS(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244(平方厘米)．【答案】4【巩固】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？46FEDCBA【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【关键词】希望杯，5年级，复赛，第15题【解析】如图，在平行线中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都为6，而顶上的三角形为6×6÷4=9，“？”处的三角形面积为9+6-6-4=5从而所求四边形面积为5=6=11.4966?【答案】11【例11】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米，CED的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？FABCDE105FABCDE105【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【解析】连接BF，根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为1010520(平方厘米)，所以长方形的面积为2010260(平方厘米)．四边形ABEF的面积为605102025(平方厘米)．【答案】25【巩固】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4平方厘米，CED的面积是6平方厘米．问：四边形A