奥数全年级一百七十九专题题库教师版535分解质因数二教师版

1.能够利用短除法分解2.整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法例如：212263，（┖是短除法的符号）所以12223；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：312123kaaaaknpppp其中为质数，12kaaa为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337；100171113；1111141271；1000173137；199535719；1998233337；200733223；2008222251；10101371337.模块一、分数的拆分【例1】算式“1希＋1望＋1杯＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝。例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数【考点】分数的拆分【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分【解析】三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11【答案】11【例2】3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少．【考点】分数的拆分【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为1a、1b、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为abc，求和得到的分数为Fabc,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积.现在和为16611986，分母198623331，所以一定是2a，3b，331c，检验满足.所以这3个质数的和为23331336．【答案】23331336【例3】一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴分子和分母各加一个相同的一位数；⑵分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是713．那么原来分数的分子是多少．【考点】分数的拆分【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于90113694，所以分母是加上9或者减去4．若是前者则原来分数分子为7709481，但4811337，不是质数；若是后者则原来分数分子是6974487，而487是质数．所以原来分数分子为487．【答案】487【例4】将1到9这9个数字在算式1的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?【考点】分数的拆分【难度】4星【题型】填空【【解解析析】】本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有1bdcbadacacac，即有1cbad，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。符合原式的填法为3217535。【答案】3217535【例5】求满足条件1111001ab的a、b的值(a、b都是四位数)．【考点】分数的拆分【难度】4星【题型】解答【【解解析析】】取1001的两个不同约数x、()yxy，得到：1111001100110011001()1001()1001()()()xyxyxyxyxyxyxyxy，因为x、y都是1001的约数，所以1001x、1001y都是整数．所以只需令1001xyax（+），1001xyby（+）就可以了．而a、b都要大于1001，要保证a、b都是四位数，所以a、b的比值都要小于10，即x、y的比值小于10．而1001的两个互质且比值小于10的约数有以下几组：1,7（）、7,11（）、7,13（）、11,13（）、11,91（）、13,77（）．所以我们依次取x、y为上面所列的数对中的数，代入a、b的表达式，得到本题的答案：8008,2574,2860,2184,9282,69301144,1638,1540,1848,1122,1170ab【答案】8008,2574,2860,2184,9282,69301144,1638,1540,1848,1122,1170ab【【巩巩固固】】若1112004ab，其中a、b都是四位数，且ab，那么满足上述条件的所有数对（a,b）是【考点】分数的拆分【难度】4星【题型】填空【【解解析析】】2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：1121120042004(12)2004(12)601230061131120042004(13)2004(13)801626721231120042004(23)2004(23)501033401341120042004(34)2004(34)46763507【答案】1121120042004(12)2004(12)601230061131120042004(13)2004(13)801626721231120042004(23)2004(23)501033401341120042004(34)2004(34)46763507【例6】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．（1）11111111111102020；（2）11110【考点】分数的拆分【难度】4星【题型】填空【【解解析析】】单位分数的拆分，主要方法是从分母N的约数中任意找出两个数m和n，有：111()()()mnmnNNmnNmnNmnAB，从分母n的约数中任意找出两个m和n(mn)，有：111()()()mnmnNNmnNmnNmnAB⑴本题10的约数有：1，10，2，5．例如：选1和2，有：11212111010(12)10(12)10(12)3015；从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m和n，它们的数值虽然不同，但是如果m和n的比值相同，那么最后得到的A和B也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数，共有24410C种，但是其中比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题共可拆分成5组．具体的解如下：1111111111110202011110126014351530．⑵10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5：15252111010(52)10(52)10(52)615另外的解让学生去尝试练习．【答案】（1）1111111111110202011110126014351530（2）11110615【例7】如果1112009AB，AB，均为正整数，则B最大是多少？【考点】分数的拆分【难度】4星【题型】填空【关键词】101中学，分班考试【【解解析析】】从前面的例题我们知道，要将1N按照如下规则写成11AB的形式：111()()()mnmnNNmnNmnNmnAB，其中m和n都是N的约数。如果要让B尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n尽可能地小而m尽可能地大，因此应当m取最大的约数，而n应取最小的约数，因此2009m，1n，所以20092008B.【答案】20092008B【【巩巩固固】】1111111111145【考点】分数的拆分【难度】4星【题型】填空【【解解析析】】11111111111457212018304051358191545【答案】11111111111457212018304051358191545【例8】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．111111110【考点】分数的拆分【难度】4星【题型】填空【【解解析析】】先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式521和连加式521．则：11111111041020804016如果选10、5、2，那么有：1111111103615173485．另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如，要得到111110，根据前面的拆分随意选取一组，比如111101260，再选择其中的一个分数进行拆分，比如1111213156，所以1111101360156．【答案】1111101360156【例9】已知等式11115ab其中a，b是非零自然数，求a+b的最大值。【考点】分数的拆分【难度】5星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第13题【解析】易知，11515()15()15()mnmnmnmnmn，令（m，n）为互质的一对数，现在要让分母为1，只需m，n是15的一对互质的约数即可。当(m，n)=（1，1）时，111153030，此时，a+b=60；当(m，n)=（1，3）时，111156020，此时，a+b=80；当(m，n)=（1，5）时，111159018，此时，a+b=108；当(m，n)=（1，15）时，1111524016，此时，a+b=256；当(m，n)=（3，5）时，111154024，此时，a+b=64；所以，a+b的最大值为256。【答案】256模块四、分解质因数的综合应用【例10】A，B都是整数，A大于B，且2009AB,那么AB的最大值为，最小值为。【考点】【难度】【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】20092009128774941最大值为200912008最小值为49418【答案】最大为2008，最小为8【例11】写出所有数字和为11，数字乘积为20的四位偶数：________．【考点】【难度】【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】本题属于数字拆分，目的就是讲11拆成四个数字和，20拆成4个数字的乘积，需要确定的是个位数字为偶数。根据拆分的特点应该从20开始拆分。先将20分解质因数为：20225，所以各个数位数字乘积为20的数字有：2、2、5、1；4、5、1、1；数字和分别为10和11，符合条件的是4、5、1、1这四个数字组成的四位偶数，所以答案为1154、1514、5114这3个答案。【答案】1154、1514、5114【例12】在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?【考点】分解质因数的综合应用【难