奥数全年级一百七十九专题题库教师版545完全平方数及应用二教师版

1.学习完全平方数的性质；2.整理完全平方数的一些推论及推论过程3.掌握完全平方数的综合运用。一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|npN，则2|npN．性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾：平方差公式：22()()ababab知识点拨教学目标5-4-5.完全平方数及应用（二）模块一、平方差公式运用【例1】将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045？【考点】平方差公式运用【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】设这两个数分别是a和b，那么有ab(a-b)=45045,分析奇偶性可知这是不可能的。因此不可能得到45045。【答案】不能得到这样的数【例2】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【考点】平方差公式运用【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】设这个数减去63为2A，减去100为2B，则221006337371ABABAB，可知37AB，且1AB，所以19A，18B，这样这个数为218100424．【答案】424【【巩巩固固】】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【考点】平方差公式运用【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A、2B，那么这两个完全平方数的差为54ABAB，由于AB和AB的奇偶性质相同，所以ABAB不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．【答案】不存在这样的数【【巩巩固固】】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【考点】平方差公式运用【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A、2B，那么这两个完全平方数的差为54ABAB，由于AB和AB的奇偶性质相同，所以ABAB不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到．【答案】不存在这样的数【【巩巩固固】】一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？【考点】平方差公式运用【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】设该正整数为a，根据题意得2132am，2231an两式相减得99nmnm,注意到nm和nm的奇偶性相同，都是奇数．因为99991333119，所以99nm，1nm或33nm，3nm或11nm，9nm．解得50n，49m或18n，15m或10n，1m，但是10n，1m不符合是正整数的条件．因此2491322269a，或者21513297．所以这个正整数是2269或97．【答案】2269或97【例3】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？【考点】平方差公式运用【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】设这两个完全平方数分别是2A和2B，且2277AB，则两个完全平方数的和可以表示为2772B，所以B越大，平方和越大，B越小，平方和越小，而77ABAB，77711177，当77AB，1AB时，B取得最大值38，此时两个完全平方数的和最大，为2965；当11AB，7AB时，B取得最小值2，此时两个完全平方数的和最小，为85．【答案】最小85，最大2965【例4】三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．例题精讲【考点】平方差公式运用【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】设这三个数从大到小分别为2A、2B、2C，那么有80ABAB，140ACAC，因为1402257，AC、AC同奇同偶，所以有14AC，10AC或70AC，2AC，分别解得12A，2C和36A，34C，对于后者没有满足条件的B，所以A只能等于12，2C，继而求得8B，所以这三个数分别为212=144、28=64、22=4．【答案】三个数分别为144、64、4【例5】有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是．(请写出所有可能的答案)【考点】平方差公式运用【难度】4星【题型】填空【关键词】2008年，清华附中【【解解析析】】设这两个两位数中较小的那个为n，则另外一个为14n，由题知，22(14)100nnk(k为正整数)，即7725nk，由于7,251，所以257n，由于n与14n均为两位数，所以17792n，故7n可能为25、50或者75，n可能为18、43或者68．经检验，18n、43、68均符合题意，所以这两个两位数为18、32，或者43、57，或者68、82．【答案】这两个两位数为18、32，或者43、57，或者68、82【例6】A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和为．【考点】平方差公式运用【难度】4星【题型】填空【【解解析析】】如果把B放在A的左边，得到的五位数为100601BAA；如果把B放在A的右边，得到的五位数为10001006ABA；这两个数的差为1006601405AAA，是一个完全平方数，而240595，所以A是5与一个完全平方数的乘积．A又是一个两位数，所以可以为252、253、254，A的所有可能取值之和为222525354145．【答案】145【例7】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数．【考点】平方差公式运用【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】设这个四位数为2abcdm①，由于其各位数字都小于7，所以每位数字都加3，没有发生进位，故2(3)(3)(3)(3)abcdn②由②①得：233333()()nmnmnm③将3333分解质因数，有3333311101，其有1111118个约数，但是有nmnm，所以只有4种可能，即333313333311111130333101．由于21000mabcd，故30m，所以260nmnmm；又2(3)(3)(3)(3)10000nabcd，所以100n，故2200nmnmn；一一检验，只有33101满足1013360且10133200，所以101nm，33nm，得34m，原来的四位数为2341156．【答案】1156模块二、完全平方数与其他知识点的综合运用【例8】如果△+△=a，△-△=b，△×△=c，△÷△=d，a+b+c+d=100，那么，△=___________.【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第5题【【解解析析】】根据题意，2a△，0b，2c△，1d，221abcd△△(1△)2100，则110△，9△.【答案】9△【例9】已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用【难度】3星【题型】填空【【解解析析】】本题综合利用数论知识，因为AB是一个质数，所以B不能为偶数，且同时BC是一个完全平方数，则符合条件的数仅有16和36，所以可以确定B为1或3，6C．由于CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，在61～69中只有63和68符合条件，那么A为3或8．那么AB可能为31，33，81，83，其中是质数的有31和83，所以满足条件的四位数有3163和8368．【答案】3163和8368【例10】称能表示成123k的形式的自然数为三角数．有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数．则N．【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用【难度】4星【题型】填空【关键词】2007年，走美【【解解析析】】依题有2123ka，即2(1)2kka．因为k与1k是两个连续自然数，其中必有一个奇数，有奇数22a相邻偶数．又由相邻自然数互质知，“奇数”与“2相邻偶数”也互质，于是奇数2m，22n相邻偶数(amn)，而2a为四位数，有3299a，即3299mn，又2m与22n相邻，有712m．当7m时，249m，相邻偶数为50时，5n满足条件，这时22(75)1225a，即1225N；当9m时，281m，相邻偶数为80和82都不满足条件；当11m时，2121m，相邻偶数为120和122都不满足条件．所以，1225N．【答案】1225【例11】自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用【难度】4星【题型】解答【【解解析析】】1到3的平方是一位数，占去3个位置；4到9的平方是二位数，占去12个位置；10到31的平方是三位数，占去66个位置；32到99的平方是四位数，占去272个位置；将1到99的平方排成一行，就占去353个位置，从612减去353，还有259个位置．从100到300的平方都是五位数，因此，第612个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字．因为2595154，即从100起到150，共51个数，它们的平方都是五位数，要占去255个位置，而15115122701，它的第4个数字是0，所以第612个位置的数字是0．【答案】0【【巩巩固固】】不是零的