奥数全年级一百七十九专题题库教师版561奇数与偶数的性质与应用教师版

本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论2：对于任意2个整数a,b,有a+b与a-b同奇或同偶模块一、奇偶分析法之计算法【例1】1231993……的和是奇数还是偶数？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.【答案】奇数【例1】从1开始的前2005个整数的和是______数(填：“奇”或“偶”)。【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，5题【解析】1+2+3+…+2004+2005=(1+2005)×2005÷2=1003×2005是奇数【答案】奇数例题精讲知识点拨教学目标5-1奇数与偶数的性质与应用【【巩巩固固】】2930318788……得数是奇数还是偶数？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】偶数。原式中共有60个连续自然数，有30个奇数，为偶数个。【答案】偶数【【巩巩固固】】123456799100999897967654321的和是奇数还是偶数？为什么？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】1星【题型】解答【【解解析析】】略【答案】偶数，在算式中，1~99都出现了2次，所以123499999897964321是偶数，而100也是偶数，所以123456799100999897967654321的和是偶数．【【巩巩固固】】(200201202288151152153233……）（……）得数是奇数还是偶数？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】200至288共89个数，其中偶数比奇数多1，44个奇数的和是偶数；151至233共83个数，奇数比偶数多1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。【答案】偶数【例2】12345679899的计算结果是奇数还是偶数，为什么？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】特殊数字：“1”．在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有1是奇数，又因为奇数偶数=奇数，所以这个题的计算结果是奇数．【答案】奇数【例3】东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038137564，他做得对吗？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】等式左边是偶数，1375是奇数，64是偶数，根据奇数偶数奇数，等式右边是奇数，偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的．【答案】不能做对【例4】一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是多少？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【解析】由定义知道，相邻两个奇数相差2，那么说明150是这个未知自然数的两倍，所以原自然数为75.【答案】75【【巩巩固固】】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数的和是多少？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【解析】由定义知道，相邻两个偶数相差2，那么80恰好是原偶数的4倍，即原来的偶数是20。而由题意知道原来的三个偶数分别18,20,22，它们的和是60。【答案】60【例5】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。（1）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10（2）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝27【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】略【答案】不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量计算的题目”（2）可以。12345678927或12345678927【例6】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】不能。因为不论如何选，选出的5个数均为奇数，5个奇数的和还是奇数，不可能等于22。【【巩巩固固】】能否从、四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】从性质上看，选出5个偶数的和仍然是偶数。而从计算层面上考虑，假设等式可以成立，那么可以把题目中的数都除以2.那么本题相当于：能否从、四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.因为3，5，7都是奇数，而且5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22，所以不能.【例7】一个偶数的数字和是40,这个偶数最小是。【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第8题【解析】这个偶数的数字和是40，应让其各个位数尽量的大，首先让个位为8，则让其前面尽量为9，则这个偶数最小为59998。【答案】59998【例8】多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0，1，2，…，6个不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1，…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：…………现将一副多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点?并简述你的理由．【考点】奇偶分析法之计算法【难度】5星【题型】解答【解析】略【答案】6，由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而6点的个数为8，所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为6．【【巩巩固固】】一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】因为中间的每一个点的两边各有一黑一白，所以所有的点一定是两个黑点、两个白点依次相邻（除了首尾可能出现一个黑点），所以白点都是成对出现的.所以白点的个数为偶数.【例9】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4星【题型】解答【关键词】俄罗斯，小学奥林匹克【【解解析析】】略【答案】不能。相邻的两个植物果实数目差1个意味着相邻2个植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为225.【例10】有一批文章共15篇，各篇文章的页数是1页、2页、3页、、14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4星【题型】解答【【解解析析】】先将偶数页的文章(2页、4页、、14页)编排，这样共有7篇文章的第一页都是奇数页码．然后将奇数页的文章(1页、3页、5页、7页、9页、11页、13页和15页)依次编排，这样编排的1页、5页、9页和13页的4篇文章的第一页都是奇数页码．因此每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是7411(篇)．【答案】11【【巩巩固固】】一本故事书共有30个故事，每个故事分别占1、2、3、…、30页（未必按这个顺序）。第一个故事从第1页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有_____个故事是从奇数页开始的。【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4星【题型】解答【关键词】走美杯，四年级，初赛，第9题【【解解析析】】前15个故事让其均为偶数页，这样前15个故事均为奇数页开始，后面15个奇数页的故事，有8个是从奇数页开始的，所以最多有15+8=23个。【答案】23个【例11】有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的乘积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数．求这四个数．【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】入手点：最小的两位奇数是11，最小数与最大数的乘积是一个奇数可得最小数和最大数都是奇数．首先由这四个数的和是最小的两位奇数，可知这四个自然数的和是11．其次，由最小数与最大数的乘积是一个奇数，可知最小数与最大数都是奇数．由12341011，23451411，可以推导出这四个互不相等的自然数分别是：1，2，3，5．【答案】1235，，，【例12】三个相邻偶数的乘积是一个六位数82，求这三个偶数．【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】由三个相邻偶数的乘积是一个六位数，可以断定这三个数必须是两位数，并且它们的个位数字只能是0，2，4，6，8中相邻的三个．又这三个数积的个位数字是2，所以，这三个相邻偶数的个位数字只能是4，6，8．由于三个100相乘等于一个最小的七位数字1000000，三个90相乘等于729000，所以，这三个相邻偶数的十位数字必须是9，从而，这相邻三个偶数分别是94，96，98．经计算．94，96，98三个数满足题意．【答案】94，96，98【例13】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4星【题型】解答【【解解析析】】略【答案】不能。因为数码都小于5所以这两个四位数相加不会产生进位，所以这两个四位数的数码和等于7356的数码和，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，所以两个四位数的数码和为偶数，而7356的数码和是奇数，所以不成立。【例14】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4星【题型】解答【【解解析析】】略【答案】不能。2个三位数的和为999，说明在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生进位说明两个三位数的数字之和相加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常用结论。那么999的数字之和是27，而原来的2个三位数经调换数字顺序后数字之和是不会变的，若以a记为其中一个三位数的数字之和，那么另一个也为a，则会有2a=27的矛盾式子出现。说明原式不成立。模块二、奇偶分析法之代数法【例15】已知a,b,c是三个连续自然数，其中a是偶数。根据下面的的信息：小红说：“那么1a,2b,3c这三个数的乘积一定是奇数”；小明：“不对1a,2b,3c这三个数的乘积是偶数”。判断小红和小明两人的说法中正确的是。【考点】【难度】星【题型】填空【关键词