奥数全年级一百七十九专题题库教师版6121鸡兔同笼问题一教师版

1.熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.2.利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象．一、鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512（只）．显然，鸡的只数就是351223（只）了．这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法模块一、两个量的“鸡兔同笼”问题——鸡兔同笼问题【例1】鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设46只都是兔，一共应有446184只脚，这和已知的128只脚相比多了18412856只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多422（只）脚，那么56只例题精讲知识精讲教学目标6-1-9.鸡兔同笼问题（一）脚是我们把56228只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是462818（只）．当然，这里我们也可以假设46只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法．【答案】鸡28只，兔18只【巩固】点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有35个头，94只脚．问：点点家养的鸡和兔各有多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一样用两只脚站着．现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是94247(只)．在47这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从47减去总头数35，剩下的就是兔子头数，473512(只)，所以有12只兔子，有351223(只)鸡．方法二：假设35只都是兔子，那么就有354140(只)脚，比94只脚多了1409446(只)．每只鸡比兔子少422(只)脚，那么共有鸡46223(只)方法三：还可以假设35只都是鸡，那么共有脚23570(只)，比94只脚少了947024(只)脚，每只鸡比兔子少422(只)脚，那么共有兔子24212(只)．方法一可以归结为：总脚数2总头数兔子数．能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别为4和2，而且4是2的2倍．方法二说明假设的35只兔子中有23只不是兔子，而是鸡．由此可以列出公式：鸡数(兔脚数总头数总脚数)(兔脚数鸡脚数)方法三说明假设的35只鸡中有12只是兔．由此可以列出公式：兔数(总脚数鸡脚数总头数)(兔脚数鸡脚数)【答案】鸡23只，兔12只【巩固】鸡兔共有45只，关在同一个笼子中．每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有100条腿．试计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】⑴假设法：若假设所有的45只动物都是兔子，那么一共应该有445180(条)腿，比实际多算18010080(条)腿．而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有80240(只)鸡被当作了兔子，所以共有40只鸡，有45405(只)兔子．注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的腿数”计算出的是兔子的数目．同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法．⑵“金鸡独立”法（砍足法）：假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”，而兔子们都只用两条腿站立的“奇观”．这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则会比头数多1．因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只兔子．原来有100只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有100250(条)腿，比头数多50455，所以有5只兔子，另外40只是鸡．【答案】鸡40只，兔5只【巩固】老虎和鸡共l0只，脚共26只．鸡（）只．【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】这属于鸡兔同笼问题，每只老虎有4只腿，每只鸡有2只腿。假设10只都是鸡，那么老虎的只数是：（26－2×10）÷（4-2）=3只，鸡有10-3=7（只）。【答案】鸡7只【例2】动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象的总数为：36218，假设鸵鸟和大象一样也有4只脚，则应该有(418)72只脚，多了(7252)20只脚，由假设引起的差值：422，则鸵鸟数为20210（只），大象数为18108（头）．【答案】鸵鸟10只，大象8头【例3】一队猎手一队狗，两队并着一起走。数头一共一百六，数脚一共三百九，则有名猎手，只狗。【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】如果全是猎手则有脚320个，多出的390-320=70个脚是狗多出来的，所以狗有70÷2=35条，猎手有160-35=125个.【答案】125个【例4】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20只的脚数得：208202168(只)．这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：246(只)，所以梅花鹿的只数是：168628(只)，从而鸵鸟的只数是：282048(只)（本题也可给学生讲成“捆绑法”，一鸡一兔一组，这个怎么分组时有倍数关系得到的）【答案】梅花鹿28只，鸵鸟48只【巩固】一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有23672（只）脚，可知现在剩下79272720（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有7206120（只），鸡有12036156（只）．【答案】兔有120只，鸡有156只。【巩固】鸡、兔同笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只．我们假设鸡与兔只数一样多，那么现在它们的足数一共有：274226222（只），每一对鸡、兔共有足：246（只），鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：222637（只），则鸡有372663（只）．【答案】兔子37只，鸡有63只【例5】鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】这道例题和前面的例题有所不同，前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只，而这道题是已知头数之和和脚数之差，这样就比前面的例题增加了一点难度．我们用两种方法来解这道题．（方法一）考虑如果补上鸡脚少的56只的话，那么就要增加56228（只）鸡．这样一来，鸡、兔共有10728135（只），这时鸡脚、兔脚一样多．已知一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的2倍，根据和倍问题有：兔有：135(21)45（只），鸡有：135452862（只）或者1074562（只）（方法二）不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：1074428（只），而鸡的脚数为零．这样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：42856372（只）．现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少426（只）．鸡的只数：372662（只）兔的只数：1076245（只）【答案】兔有45只，鸡有62只。【巩固】鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只?【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多20020180(只).现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426(只)，而180630，因此有兔子30只，鸡1003070(只).【答案】兔子30只，鸡70只.【巩固】鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只．问：鸡、兔各多少只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零．这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多1206060(只)．现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426(只)，而60610，因此有兔子10只，鸡601050(只)．【答案】兔子10只，鸡50只.【巩固】鸡、兔共有27只，兔的脚比鸡的脚多18只。兔有只。【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】填空【关键词】假设思想方法，整体思想，2004年，第2届，走美杯，3年级，决赛【解析】如果27只都是兔，那么有108只脚，兔脚比鸡脚多108只，每用1只兔换1只鸡，兔脚与鸡脚的差将减少6只，所以有鸡90615只，兔子12只。【答案】12只【例6】鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法，整体思想【解析】解一:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).鸡是100-38=62(只).当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).也可以用任意假设一个数的办法.解二:假设有50只鸡,就有兔