2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题06不等式与线性规划

不等式与线性规划【2020年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C级要求，线性规划是A级要求．(2)基本不等式是C级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.【重点、难点剖析】1．不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解．2．基本不等式(1)基本不等式a2＋b2≥2ab取等号的条件是当且仅当a＝b.(2)几个重要的不等式：①ab≤a＋b22(a，b∈R)．②a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a＞0，b＞0)．③a＋1a≥2(a＞0，当a＝1时等号成立)．④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．(3)最值问题：设x，y都为正数，则有①若x＋y＝s(和为定值)，则x＝y时，积xy取得最大值s24；②若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题若不等式f(x)A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)minA；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)maxB；(2)能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立，则等价于在区间D上f(x)maxA；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立，则等价于在区间D上f(x)minB；(3)恰成立问题若不等式f(x)A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为D；若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)B的解集为D.4．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．5．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－abx＋zb，可知zb是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.【题型示例】题型一、不等式的解法及应用【例1】【变式探究】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是▲.【答案】30【解析】总费用，当且仅当900xx，即30x时等号成立.【变式探究】【2016高考新课标1卷】若,则()（A）ccab（B）ccabba（C）（D）【答案】C【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．【举一反三】(2015·江苏，7)不等式2x2－x＜4的解集为________．解析∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1x2.答案{x|－1＜x＜2}【变式探究】已知实数x，y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2＋11y2＋1B．ln(x2＋1)ln(y2＋1)C．sinxsinyD．x3y3【方法技巧】解不等式的四种策略(1)解一元二次不等式的策略：先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解．(3)解含指数、对数不等式的策略：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．(4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解．【变式探究】(1)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12成立，则a的取值范围是________．(2)已知一元二次不等式f(x)0的解集为xx－1，或x12，则f(10x)0的解集为______．【答案】(1)[－52，＋∞)(2){x|x－lg2}【解析】(1)设f(x)＝x2＋ax＋1，其对称轴为x＝－a2.若－a2≥12，即a≤－1时，则f(x)在0，12上是减函数，若满足题意应有f12≥0，即－52≤a≤－1.若－a2≤0，即a≥0时，则f(x)在0，12上是增函数，又f(0)＝10成立，故a≥0.若0－a212，即－1a0，则应有f－a2＝a24－a22＋1＝1－a24≥0成立，故－1a0.综上，有a≥－52.另解也可转化为：a≥－x＋1x，x∈(0，12)恒成立，利用单调性求解．(2)依题意知f(x)0的解为－1x12，故010x12，解得xlg12＝－lg2.【规律方法】解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解．题型二、简单的线性规划问题【例2】（2018年全国I卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A.6B.19C.21D.45【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：，本题选择C选项。【变式探究】【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是A.-3B.-1C.1D.3【答案】D【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线20xy,可知当其经过直线与2y的交点1,2时,2zxy取得最大值，为,故选D.【变式探究】【2016年高考北京文数】若x，y满足2030xyxyx，则2xy的最大值为（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】作出如图可行域，则当yxz2经过点P时，取最大值，而)2,1(P，∴所求最大值为4，故选C.xyOP【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【举一反三】(2015·广东，6)若变量x，y满足约束条件4x＋5y≥8，1≤x≤3，0≤y≤2，则z＝3x＋2y的最小值为()A.315B．6C.235D．4解析不等式组所表示的可行域如图所示，由z＝3x＋2y得y＝－32x＋z2，依题当目标函数直线l：y＝－32x＋z2经过A1，45时，z取得最小值即zmin＝3×1＋2×45＝235，故选C.答案C【变式探究】(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件x＋y－7≤0，x－3y＋1≤0，3x－y－5≥0，则z＝2x－y的最大值为()A．10B．8C．3D．2(2)(2014·浙江)当实数x，y满足x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查线性规划问题的求解，意在考查考生的数形结合能力与运算求解能力．(2)本题主要考查线性规则、不等式恒成立问题，考查考生的数形结合与运算求解能力．【答案】(1)B(2)1，32【解析】(1)作出可行域如图中阴影部分所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8.(2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图中阴影部分所示，令z＝ax＋y，即y＝－ax＋z.作直线l0：y＝－ax，平移l0，最优解可在A(1,0)，B(2,1)，C1，32处取得．故由1≤z≤4恒成立，可得1≤a≤4，1≤2a＋1≤4，1≤a＋32≤4，解得1≤a≤32.【感悟提升】1．线性规划问题的三种题型(1)求最值，常见形如截距式z＝ax＋by，斜率式z＝x－bx－a，距离式z＝(x－a)2＋(y－b)2.(2)求区域面积．(3)由最优解或可行域确定参数的值或取值范围．2．解答线性规划问题的步骤及应注意的问题(1)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z＝Ax＋By中的B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析．题型三、基本不等式及其应用例3、（2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．【答案】【解析】由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【变式探究】【2017课标II，文7】设,xy满足约束条件,则2zxy的最小值是A.15B.9C.1D9【答案】A【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A(−6,−3)，则z=2x+y的最小值是：−15.故选：A.【变式探究】【2016高考天津文数】设变量x，y满足约束条件则目标函数25zxy的最小值为（）（A）4（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线z25xy过点B时取最小值6，选B.【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【举一反三】(1)已知不等式x＋2x＋10的解集为{x|axb}，点A(a，b)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn0，则2m＋1n的最小值为()A．42B．8C．9D．12(2)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．【命题意图】(1)本题主要考查解分式不等式、均值不等式等基础知识，对学生的转化思想、运算能力有一定要求．(2)本题主要考查空间几何体的表面积、基本不等式等基础知识，意在考查考生处理实际问题的能力、空间想象能力和运算求解能力．设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为4xm，依题意，得y＝20×4＋10·2x＋2×4x＝80＋20x＋4x≥80＋20×2x×4x＝160当且仅当x＝4x，即x＝2时取等号，所以该容器的最低总造价为160元．【感悟提升】(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适