2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题07三角函数图象与性质

三角函数图象与性质【2020年高考考纲解读】1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．【重点、难点剖析】1．记六组诱导公式对于“kπ2±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不变，符号看象限．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性－π2＋2kπ，π2＋2kπ为增；π2＋2kπ，3π2＋2kπ为减[－π＋2kπ，]2kπ为增；[]2kπ，π＋2kπ为减－π2＋kπ，π2＋kπ为增对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴x＝kπ＋π2x＝kπ无3.y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法，设X＝ωx＋φ，X取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x值、y值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点－φω，0作为突破口．(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x而言．(4)把函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A，ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减．4．三角函数中常用的转化思想及方法技巧(1)方程思想：sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三者中，知一可求二．(2)“1”的替换：sin2α＋cos2α＝1.(3)切弦互化：弦的齐次式可化为切.【题型示例】题型一、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用【例1】(1)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点P(2,1)，则tan2α等于()A.43B.12C．－12D．－43答案A解析因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，所以tanα＝12，因此tan2α＝2tanα1－tan2α＝11－14＝43.(2)已知曲线f(x)＝x3－2x2－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos2π2＋α－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为()A.85B．－45C.43D．－23答案A【变式探究】【2016高考新课标2文数】若，则sin2（）（A）725（B）15（C）15（D）725【答案】D【解析】，且，故选D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．【举一反三】(2015·重庆，9)若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝()A．1B．2C．3D．4解析cosα－3π10sinα－π5＝sinπ2＋α－3π10sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5＝sinαcosπ5＋cosαsinπ5sinα·cosπ5－cosαsinπ5＝tanαtanπ5＋1tanαtanπ5－1＝2＋12－1＝3.答案C【变式探究】(1)已知cosπ2＋α＝35，且α∈π2，3π2，则tanα＝()A.43B.34C．－34D．±34(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤xπ时，f(x)＝0，则f23π6＝()A.12B.32C．0D．－12【命题意图】(1)本题主要考查三角函数的诱导公式及同角基本关系式的应用．(2)本题是函数与三角运算问题，主要考查函数三要素及三角运算．【答案】(1)B(2)A【解析】(1)∵cosπ2＋α＝35，∴sinα＝－35，显然α在第三象限，∴cosα＝－45，故tanα＝34.故选B.(2)∵f(x＋π)＝f(x)＋sinx，∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sinx.∴f(x＋2π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)．∴f(x)是以2π为周期的周期函数．又f23π6＝f4π－π6＝f－π6，∴f－π6＋π＝f－π6＋sin－π6，∴f5π6＝f－π6－12.∵当0≤xπ时，f(x)＝0，∴f5π6＝0，∴f23π6＝f－π6＝12.故选A.【感悟提升】1．结合诱导公式与同角基本关系式化简求值的策略(1)切弦互换法．利用tanα＝sinαcosα进行转化．(2)和积转化法．利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα进行变形、转化．(3)常值代换法．其中之一就是把1代换为sin2α＋cos2α.同角三角函数关系sin2α＋cos2α＝1和tanα＝sinαcosα联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tanα＝sinαcosα可以把含有sinα，cosα的齐次式化为tanα的关系式．2．化简求值时的“三个”防范措施(1)函数名称和符号．利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数与锐角的三角函数，其步骤是：去负—脱周—化锐—求值．特别注意解题过程中函数名称和符号的确定．(2)开方．在利用同角三角函数的平方关系时若需开方，特别注意要根据条件进行讨论取舍．(3)结果整式化．解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能化为整式．【变式探究】(1)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x，5)，且cosα＝24x，则sinα＋π2＝________.(2)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝________.【解析】(1)由题意得cosα＝x5＋x2＝24x，解得x＝3或x＝－3，又α是第二象限角，∴x＝－3.即cosα＝－64，sinα＋π2＝cosα＝－64.(2)因为sinα＋cosα＝33，所以1＋2sinαcosα＝13，所以2sinαcosα＝－230，又因为α为第二象限角，所以sinα0，cosα0，则sinα－cosα＝1－2sinαcosα＝153，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝－153×33＝－53.【答案】(1)－64(2)－53【规律方法】在利用诱导公式和同角三角函数关系时，一定要特别注意符号，在诱导公式中是“奇变偶不变，符号看象限”，在同角三角函数的平方关系中，开方后的符号也是根据角所在的象限确定的．题型二、三角函数的图象【例2】(2018·天津卷)将函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号)①在区间3π4，5π4上单调递增；②在区间3π4，π上单调递减；③在区间5π4，3π2上单调递增；④在区间3π2，2π上单调递减．答案①解析函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y＝sin2x－π10＋π5＝sin2x，则函数y＝sin2x的一个单调增区间为3π4，5π4，一个单调减区间为5π4，7π4.由此可判断①正确．【变式探究】(2016·高考全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()A．y＝2sin2x－π6B．y＝2sin2x－π3C．y＝2sinx＋π6D．y＝2sinx＋π3【举一反三】(2015·山东，3)要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位解析∵y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，∴要得到y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移π12个单位．答案B【变式探究】(2015·湖南，9)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ0＜φ＜π2个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝π3，则φ＝()A.5π12B.π3C.π4D.π6解析易知g(x)＝sin(2x－2φ)，φ∈0，π2，由|f(x1)－f(x2)|＝2及正弦函数的有界性知，①sin2x1＝－1，sin（2x2－2φ）＝1或②sin2x1＝1，sin（2x2－2φ）＝－1，由①知x1＝－π4＋k1π，k2＝π4＋φ＋k2π(k1，k2∈Z)，∴|x1－x2|min＝π2＋φ＋（k2－k1）πmin＝π3，由φ∈0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6，同理由②得φ＝π6.故选D.答案D【举一反三】(1)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为()(2)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点()A．向左平行移动12个单位长度B．向右平行移动12个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式及三角函数的图象，意在考查考生识图、用图的能力．(2)本题主要考查三角函数的图象，意在考查考生的函数图象的变换能力以及三角函数的运算能力．【答案】(1)B(2)A【解析】(1)由题意知，f(x)＝|cosx|·sinx，当x∈0，π2时，f(x)＝cosx·sinx＝12sin2x；当x∈π2，π时，f(x)＝－cosx·sinx＝－12sin2x，故选B.(2)y＝sin2x的图象向左平移12个单位长度得到函数y＝sin2x＋12的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象，故选A.【感悟提升】1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定(1)A由最值确定，A＝最大值－最小值2.(2)ω由周期确定．(3)φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．2．作三角函数图象左、右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x的变化量，因此由y＝sinωx(ω0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ0)或向右(φ0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．题型三三角函数的性质及其应用例3．设函数f(x)＝sinωx·cosωx－3cos2ωx＋32(ω0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4.(1)求ω的值；(2)若函数y＝f(x＋φ)0φπ2是奇函数，求函数g(x)＝cos(2x－φ)在[0,2π]上的单调递减区间．解(1)f(x)＝sinωx·cosωx－3cos2ωx＋32＝12sin2ωx－3＋cos2ωx2＋32＝12sin2ωx－32cos2ωx＝sin2ωx－π3，设T为f(x)的最小正周期，由f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得T22＋[2f(x)max]2＝π2＋4，∵f(x)max＝1，∴T22＋4＝π2＋4，整理得T＝2π.又ω0，T＝2π2ω＝2π，∴ω