2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题12数列的综合问题

数列的综合问题【2020年高考考纲解读】1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．【重点、难点剖析】一、利用Sn，an的关系式求an1．数列{an}中，an与Sn的关系an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列{an}中，满足an＋1an＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．二、数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．三、数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．【高考题型示例】题型一、利用Sn，an的关系式求an例1、已知等差数列{an}中，a2＝2，a3＋a5＝8，数列{bn}中，b1＝2，其前n项和Sn满足：bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解(1)∵a2＝2，a3＋a5＝8，∴2＋d＋2＋3d＝8，∴d＝1，∴an＝n(n∈N*)．∵bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)，①∴bn＝Sn－1＋2(n∈N*，n≥2)．②由①－②，得bn＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn(n∈N*，n≥2)，∴bn＋1＝2bn(n∈N*，n≥2)．∵b1＝2，b2＝2b1，∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴bn＝2n(n∈N*)．【感悟提升】给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.【变式探究】已知数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若an0，数列log2an32的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值．解(1)由已知a1an＝S1＋Sn，①可得当n＝1时，a21＝a1＋a1，解得a1＝0或a1＝2，当n≥2时，由已知可得a1an－1＝S1＋Sn－1，②①－②得a1()an－an－1＝an.若a1＝0，则an＝0，此时数列{an}的通项公式为an＝0.若a1＝2，则2()an－an－1＝an，化简得an＝2an－1，即此时数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an＝2n(n∈N*)．综上所述，数列{an}的通项公式为an＝0或an＝2n.(2)因为an0，故an＝2n.设bn＝log2an32，则bn＝n－5，显然{bn}是等差数列，由n－5≥0，解得n≥5，所以当n＝4或n＝5时，Tn最小，最小值为T4＝T5＝5()－4＋02＝－10.题型二数列与函数、不等式的综合问题例2、已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x1＋λx1＋x.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{an}的通项an＝1＋12＋13＋…＋1n，证明：a2n－an＋14nln2.(1)解由已知可得f(0)＝0，∵f(x)＝ln(1＋x)－x1＋λx1＋x，∴f′(x)＝－2λx－λx21＋x2，且f′(0)＝0.①若λ≤0，则当x0时，f′(x)0，f(x)单调递增，∴f(x)≥f(0)＝0，不合题意；②若0λ12，则当0x1－2λλ时，f′(x)0，f(x)单调递增，∴当0x1－2λλ时，f(x)f(0)＝0，不合题意；③若λ≥12，则当x0时，f′(x)0，f(x)单调递减，当x≥0时，f(x)≤f(0)＝0，符合题意．综上，λ≥12.∴实数λ的最小值为12.(2)证明由于a2n－an＋14n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n－1＋12n＋14n，若λ＝12，由(1)知，f(x)＝ln(1＋x)－x2＋x2＋2x，且当x0时，f(x)0，即x2＋x2＋2xln(1＋x)，令x＝1n，则2n＋12nn＋lnn＋1n，∴12n＋1n＋lnn＋1n，1n＋＋1n＋lnn＋2n＋1，1n＋＋1n＋lnn＋3n＋2，…，1n－＋14nln2n2n－1.以上各式两边分别相加可得12n＋1n＋＋1n＋＋1n＋＋1n＋＋1n＋＋…＋1n－＋14nlnn＋1n＋lnn＋2n＋1＋lnn＋3n＋2＋…＋ln2n2n－1，即1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n－1＋12n＋14nlnn＋1n·n＋2n＋1·n＋3n＋2·…·2n2n－1＝ln2nn＝ln2，∴a2n－an＋14nln2.【感悟提升】解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视．(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件．(3)不等关系证明中进行适当的放缩．【变式探究】已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，满足S4＝2a4－1，S3＝2a3－1.(1)求{an}的通项公式；(2)记bn＝log2()an·an＋1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：1T1＋1T2＋…＋1Tn2.(1)解设{an}的公比为q，由S4－S3＝a4，S4＝2a4－1得，2a4－2a3＝a4，所以a4a3＝2，所以q＝2.又因为S3＝2a3－1，所以a1＋2a1＋4a1＝8a1－1，所以a1＝1，所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)证明由(1)知bn＝log2(an＋1·an)＝log2(2n×2n－1)＝2n－1，所以Tn＝1＋n－2n＝n2，所以1T1＋1T2＋…＋1Tn＝112＋122＋…＋1n21＋11×2＋12×3＋…＋1n－n＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝2－1n2.题型三数列的实际应用例3、科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m0)．(1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．解设2018年的碳排放总量为a1,2019年的碳排放总量为a2，…，(1)由已知，a1＝400×0.9＋m，a2＝0.9×()400×0.9＋m＋m＝400×0.92＋0.9m＋m＝324＋1.9m.(2)a3＝0.9×()400×0.92＋0.9m＋m＋m＝400×0.93＋0.92m＋0.9m＋m，…，an＝400×0.9n＋0.9n－1m＋0.9n－2m＋…＋0.9m＋m＝400×0.9n＋m1－0.9n1－0.9＝400×0.9n＋10m()1－0.9n＝()400－10m×0.9n＋10m.由已知∀n∈N*，an≤550，(1)当400－10m＝0，即m＝40时，显然满足题意；(2)当400－10m0，即m40时，由指数函数的性质可得()400－10m×0.9＋10m≤550，解得m≤190.综合得m40；(3)当400－10m0，即m40时，由指数函数的性质可得10m≤550，解得m≤55，综合得40m≤55.综上可得所求m的范围是(]0，55.【感悟提升】常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值y＝N(1＋p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋nr)．(4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b＝r1＋rna1＋rn－1.【变式探究】2018年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2019年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2018年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记2018年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为该项目赢利．参考数值：327≈17，328≈25，ln3≈1.1，ln2≈0.7(1)试求f(n)的表达式；(2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．解(1)由题意知，第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为8＋2(n－1)＝2n＋6(千万元)，第1年至此后第n(n∈N*)年的累计净收入为12＋12×321＋12×322＋…＋12×32n－1＝121－32n1－32＝32n－1(千万元)．∴f(n)＝32n－1－(2n＋6)＝32n－2n－7(千万元)．(2)方法一∵f(n＋1)－f(n)＝32n＋1－n＋－7－32n－2n－7＝1232n－4，∴当n≤3时，f(n＋1)－f(n)0，故当n≤4时，f(n)递减；当n≥4时，f(n＋1)－f(n)0，故当n≥4时，f(n)递增．又f(1)＝－1520，f(7)＝327－21≈17－21＝－40，f(8)＝328－23≈25－23＝20.∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2025年开始并持续赢利．方法二设f(x)＝32x－2x－7(x≥1)，则f′(x)＝32xln32－2，令f′(x)＝0，得32x＝2ln32＝2ln3－ln2≈21.1－0.7＝5，∴x≈4.从而当x∈[1,4)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(4，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增．又f(1)＝－1520，f(7)＝327－21≈17－21＝－40，f(8)＝328－23≈25－23＝20.∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2025年开始并持续赢利．题型四与数列相关的综合问题例4、设f(x)＝12x2＋2x，f′(x)是y＝f(x)的导函数，若数列{an}满足an＋1＝f′(an)，且首项a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值.解(1)由f(x)＝12x2＋2x，得f′(x)＝x＋2.∵an＋1＝f′(an)，且a1＝1.∴an＋1＝an＋2则an＋1－