2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程

坐标系与参数方程【2020年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识．【重点、难点剖析】1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a,0)(a0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于Mr，π2，半径为r：ρ＝2rsinθ.(4)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为r2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．4．直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P→的数量．5．圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．(2)双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为x＝asecθ，y＝btanθ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数).【题型示例】题型一极坐标方程和参数方程【例1】(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程．(2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得x＝x1，y＝2y1.由x21＋y21＝1，得x2＋y22＝1，即曲线C的方程为x2＋y24＝1.故C的参数方程为x＝cost，y＝2sint(t为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标．题型二参数方程与普通方程的互化【例2】(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．【解析】(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当|2|1＋k21，解得k－1或k1，即α∈π2，3π4或α∈π4，π2.综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，π4α3π4.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2αα为参数，π4α3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围．【变式探究】【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy中,已知直线l的参考方程为x82tty(t为参数),曲线C的参数方程为22,22xsys(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.【答案】455【解析】直线l的普通方程为.因为点P在曲线C上，设，从而点P到直线l的的距离，当2s时，min455d.因此当点P的坐标为4,4时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值455.【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=4cos.（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．【答案】（I）圆,（II）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t得到1C的普通方程.1C是以)1,0(为圆心，a为半径的圆.将代入1C的普通方程中，得到1C的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线21,CC的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得，由已知2tan，可得，从而012a，解得1a（舍去），1a.1a时，极点也为21,CC的公共点，在3C上.所以1a.【变式探究】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【变式探究】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.【解析】(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2，由于M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα，即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα(α为参数)．(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝π3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3，射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3.所以AB＝|ρ2－ρ1|＝23.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得1,2,xxyy由x21＋y21＝1得x2＋y22＝1，即曲线C的方程为x2＋y24＝1.故C的参数方程为cos2sinxtyt(t为参数)．(2)由解得：1,0xy或0,2.xy不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线斜率为k＝12，于是所求直线方程为y－1＝12x－12，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝34sinθ－2cosθ.题型三极坐标参数方程及其应用【例3】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1＋cosα，y＝sinα(α为参数)，直线l的参数方程为x＝1－t，y＝3＋t(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m：θ＝β(ρ0)．(1)求C和l的极坐标方程；(2)设点A是m与C的一个交点(异于原点)，点B是m与l的交点，求|OA||OB|的最大值．解(1)曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，得()ρcosθ－12＋ρ2sin2θ＝1，化简得C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.因为l的普通方程为x＋y－4＝0，所以极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－4＝0，所以l的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(2)设A(ρ1，β)，B(ρ2，β)，则|OA||OB|＝ρ1ρ2＝2cosβ·sinβ＋cosβ4＝12(sinβcosβ＋cos2β)＝24sin2β＋π4＋14，由射线m与C，直线l相交，则不妨设β∈－π4，π4，则2β＋π4∈－π4，3π4，所以当2β＋π4＝π2，即β＝π8时，|OA||OB|取得最大值，即|OA||OB|max＝2＋14.【感悟提升】(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．【变式探究】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)若曲线C2的参数方程为x＝tcosα，y＝1＋tsinα(α为参数)，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为x＝tcosα，y＝1＋tsinα(t为参数)，A(0,1)，且曲线C1与曲线C2的交点分别为P，Q，求1|AP|＋1|AQ|的取值范围．【解析】(1)∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，又∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，∴曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，曲线C2的普通方程为x2＋(y－1)2＝t2.(2)将C2的参数方程x＝tcosα，y＝1＋tsinα(t为参数)代入C1的方程x2＋y2－2x＝0，得t2＋(2sinα－2cosα)t＋1＝0.∵Δ＝(2sinα－2cosα)2－4＝8sin2α－π4－40，∴sinα－π4∈22，1，∴sinα－π4∈－1，－22∪22，1.t1＋t2＝－(2sinα－2cosα)＝－22sinα－π4，t1t2＝10，∵