江苏省各地2019届高三下学期模拟考试数学试题分类汇编随机变量分布列空间向量

江苏省各地2019届高三下学期模拟考试数学试题分类汇编：排列组合、随机变量分布列、空间向量与立体几何一、空间向量与立体几何1、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB1，APAD2.（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）若点M，N分别在AB，PC上，且MN平面PCD，试确定点M，N的位置．2、（盐城市2019届高三第三次模拟）如图，在四校锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC,AB=AC=AD=3，PA=BC=4.(1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.3、（江苏省2019年百校大联考）如图，在三棱锥ABCD中，△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD的中点，且AE平面BCD，F为线段AB上一动点，记BFBA．（1）当13时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为1510时，求的值．二、随机变量分布列1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位有课选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B中，设点C是其中的一个交叉路口点.（1）求甲经过点C的概率；（2）设这4名游客中恰有X名有课都是经过点C，求随机变量X的概率分别和数学期望.2、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量表示X，Y两数中“回文数”的个数，求的概率分布和数学期望()E．3、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为，求的概率分布及数学期望．4、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．（1）蚊：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量X的数学期望E(X)．5、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））已知34268243451681022()nnnnCCCCfnCCCC，562468243451681022()nnnnCCCCgnCCCC，其中nN，2n．（1）求(2)f，(3)f，(2)g，(3)g的值；（2）记()()()hnfngn，求证：对任意的mN，m≥2，总有1(2)2mmh．6、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次模拟）设202(1)inniinPC，212(1)jnnjjnjQC．（1）求222PQ的值；（2）化简nnnPQ．7、（江苏省2019年百校大联考）设n为正整数，定义11()kkkkknknkknPxxCxCxC，其中文章学习积分12345概率1919191612视频学习积分246概率161312表1表21kn．（1）求220(1)P的值；（2）当2kn时，证明：111(1)()()kknknnnxPxxPxxC．（3）求21()2nnP的值．空间向量与立体几何参考答案1、【解】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．以{}ABADAPuuuruuuruuur，，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则(100)(120)(020)(002)BCDP，，，，，，，，，，，.从而(102)(122)(022)PBPCPD，，，，，，，，.uuruuuruuur设平面PCD的法向量()xyzn，，，则00PCPDnnuuuruuur，，即220220xyzyz，，不妨取1y，则01xz，．所以平面PCD的一个法向量为(011)n，，．………………………………………3分设直线PB与平面PCD所成角为，所以10sincos5PBPBPBnnnuuruuruur，，即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为105．……………………………………5分（2）设(00)Ma，，，则(00)MAa，，，uuur设PNPC，uuuruuur则22PN，，-，uuur而(002)AP，，，uuur所以(222)MNMAAPPNauuuruuuruuuruuur，，．……………………………………8分由（1）知，平面PCD的一个法向量为(011)n，，，因为MN平面PCD，所以MNuuur∥n．所以0222a，，解得，1122a，．所以M为AB的中点，N为PC的中点．…………………………………………10分（第22题）ABCDPzxy2、解：（1）设BC的中点为E，由ACAB，可知BCAE，故以APADAE,,所在的直线分别为zyx,,轴建立空间直角坐标系（如图所示）.………………2分则)0,3,0(),4,0,0(),0,0,0(DPA，)0,2,5(),0,2,5(CB.（1）设为两直线所成角，由)0,1,5(),4,2,5(CDPB，得76cos||30||||PBCDPBCD.即异面直线PB与CD所成角的余弦值为7630.…………6分（2）设1n=),,(zyx为平面PBC的法向量，因为(5,2,4),(5,2,4)PBPC，由0PBn，0PCn，即52405240xyzxyz，取)5,0,4(1n，又平面PAD的一个法向量为)0,0,1(2n.设为两个平面所成的锐二面角的平面角，则1212421cos||21||||nnnn.所以面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为42121.…………………10分3、PBACDExyz随机变量分布列参考答案1、2、【解】（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率2()9PA．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量的所有可能取值为0，1，2．由（1）得2()9PA．…………………………………………………………………5分设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，29205=9PBC．2528=0=119981PPAPB；252543=1=11999981PPAPBPAPB；2510=2=9981PPAPB……………………………………………………8分所以，随机变量的概率分布为012P288143811081所以，随机变量的数学期望为2843107()0128181819E．……………10分3、【解】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P，所以每日学习积分不低于9分的概率为59．……4分（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）每个人积分不低于9分的概率为59．3464=0=9729P；21354240=1=C99729P；22354300=2=C99729P；35125=3=9729P．所以，随机变量的概率分布列为0123P64729240729300729125729……8分所以642403001255()01237297297297293E．所以，随机变量的数学期望为53．……10分4、解：由于批量较大，可以认为随机变量(10,0.05)XB,………………………2分文章3455视频6646（1）恰好有2件不合格的概率22810(2)0.050.95PXC，恰好有3件不合格的概率33710(3)0.050.95PXC，……………………………4分∵22810337100.050.95(2)571(3)0.050.958CPXPXC，∴(2)(3)PXPX，即恰好有2件不合格的概率大；…………………………6分（2）∵1010()(1)kkkkPXkpCpp，0,1,2,,10k.随机变量X的概率分布为：X01210kp001010(1)Cpp11910(1)Cpp22810(1)Cpp1010010(1)Cpp故100()0.5kkEXkp．………………………………………………………………9分答：随机变量X的数学期望()EX为0.5．…………………………………………10分5、解：（1）24363(2)10CfC，3264346841(3)70CCfCC，44361(2)20CgC，5464346819(3)140CCgCC；……………………………………………3分（2）∵222122(2)!(2)!(!)(!)((2)!)((2)!)(22)!((1)!)((1)!)kkkkkkkkCCkkkkkCkk2(1)(2)(1)(1)(22)(21)(2)kkkkkkkk(1)(42)1(22)(21)(2)2kkkkkk，………………………………………4分∴222122221()()()2kknnkkkkkkCChnfngnCk．……………………………………5分下面用数学归纳法证：对任意的*,2Nmm≥，总有1(2)2mmh．当2m时，111371(4)456602h，命题成立；当3m时，371111374(8)60789106010h372460601，命题成立，……6分假设当mt（3t≥）时，命题成立，即1(2)2tth成立；则当1mt时，11111(2)(2)232422ttttthh111111122324252622tttttt（），…………………………7分∵3t≥，1113232422ttt1(23)2(23)(24)(22)ttttt0，∴1113232422ttt．……………………………………………………………8分又1111252622ttt111111222222ttt12222tt