初三自主招生拓展内容教学案8逻辑推理拓展

第1页专题逻辑推理（教案）一、主要知识点：逻辑推理问题的已知条件一般给出若干信息，这些信息有的与数学有关，有的与数学无关，而且正确与错误信息往往混杂在一起，或者若干信息是隐蔽的，要求我们按形式逻辑的方法排除错误信息，分离出正确信息，或将隐蔽信息挖掘出来，进一步推理获取全面信息，得出所要求的结论。解决逻辑推理问题，我们思维要灵活，逻辑要清楚，表达要准确，对于逻辑推理问题的学习，我们可以从易到难、从简到繁的进行。二、典型例题：（一）简单的逻辑推理问题例1：某校举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得到了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次。A说：B是第3名，C是第5名；B说：D是第5名，E是第4名；C说：A是第1名，E是第4名；D说：C是第1名，B是第2名；E说：A是第3名，D是第4名。老师说，每个名次都有人猜对。问获得第4名的是谁？解：因为每个名次都有人猜对，而第2名只有D猜的B，所以B是第2名；由此，A猜的“B是第3名”就不对了，即知：A是第3名（E猜的）；于是，D猜的“A是第1名”就不对了，即知：C是第1名（D猜的）；从而，A猜的“C是第5名”就不对了，即知：D是第5名（B猜的）这样以来，就得出：C是第1名，B是第2名，A是第3名，D是第5名，因此，第4名是E。点评：本题抓住“每个名次都有人猜对”及“第2名”只有D猜的“B”进行推理，推理过程环环相扣。例2：在黑板上写着若干个0，1，2，可以擦去其中两个不相等的数字，并代之以与擦去的数字不相同的数字（例如，用2代替0和1，用1代替0和2，用0代替1和2）。证明：如果经过若干次这样的操作后，在黑板上还有一个数字，那么这个数与擦去数字的先后次序无关。证明：设数字0，1，2的个数分别为p，q，r。由题设，每一步操作，所有三个数p，q，r都增加或减少1。而p，q，r的奇偶性也随之而改变。当黑板上只剩下一个数字时，p，q，r中的一个变为1，而另外两个变为0。即一个奇数，两个偶数。这就说明，一开始时，这三个数p，q，r中必有一个数的奇偶性与另外两个数的奇偶性不同，这个数所对应的数字就留在黑板上，因此，黑板上留下的那个数只与p，q，r的奇偶性有关，而与擦去数字的先后次序无关。点评：本题要关注每一步操作，三个数字个数p，q，r的变化情况，并根据题意得出p，q，r中必有一个数的奇偶性与另外两个数的奇偶性不同的结论，进而得出所要证明的结果。（二）用表格帮助推理通过列表可以将条件系统化，能够直观地帮助我们推理，有助于逻辑上的操作。例1：有50个女孩，她们的肤色是白色的或黑色的，眼睛是蓝色的或褐色的。若有14个蓝眼睛白肤色，31个黑肤色，18个褐眼睛。求褐眼睛黑肤色的女孩子人数。解：这是与数字结合的逻辑题，用列表法最好。肤色眼睛蓝色褐色总计白色14黑色31第2页依题意填好列表后，可知蓝眼睛女孩有14人，于是蓝眼睛的女孩子50—18=32人，因此黑肤色蓝眼睛的女孩子有32—14=18人；故褐眼睛黑肤色的女孩子应有31—18=13人。点评：由题意，列出表格后，便很容易得出结果。例2：甲、乙、丙三个学生分别带着3种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服，去参加一项公益活动，已知（1）帽子和衣服的颜色都只有红、黄、蓝3种；（2）甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；（3）戴红帽子的学生没有穿蓝衣服；（4）戴黄帽子的学生穿着红衣服；（5）乙没有穿黄衣服。试问：甲、乙、丙三人各戴着什么颜色的帽子，各穿着什么颜色的衣服？解：用列表法帮助推理。画三张3×3的表：比如甲没戴红帽子即在左表中“甲红”格画×；乙穿红衣服，就在右表“乙红”格中画〇，其余类推。帽子衣服甲乙丙红黄蓝红黄蓝由（2）甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；可分乙戴红帽子、丙戴红帽子两种情况讨论。若乙戴红帽子（“乙红”画〇），由（3）戴红帽子的学生没有穿蓝衣服（“乙蓝”画×），就得出乙穿红衣服或黄衣服（“乙红”是〇或“乙黄”是〇），由（5）乙没有穿黄衣服（“乙黄”不是〇），所以得出乙穿红衣服（“乙红”是〇）。与（4）戴黄帽子的同学穿着红衣服矛盾。所以“乙戴红帽子”不成立，只能是丙戴红帽子。当丙戴红帽子时，左表“丙红”填〇，则“乙红”填×。这时“乙蓝”填〇。帽子衣服甲乙丙红黄蓝红黄蓝于是知，甲戴黄帽（“甲黄”填〇），由条件（4）戴黄帽子的学生穿着红衣服，右表“甲红”填总计1850×〇×〇×××〇××〇〇〇××〇×〇×第3页〇。再由（3）戴红帽子的学生没有穿蓝衣服，右表“丙蓝”填×。至此可知，“乙蓝”填〇，“丙黄”填〇，所以得出：甲：穿红衣服，戴黄帽子；乙穿蓝衣服，戴蓝帽子；丙：穿黄衣服，戴红帽子。点评：本题的条件比较复杂，但通过列表和适当的分类，将条件有机的整合，进行缜密的推理，便推出了我们所要的结论。（三）更进一步的逻辑推理问题情况比较复杂的“说真话说假话”等是一类很有趣味的推理题目。利用逻辑、排中律、简单的反证法，一般可以完成排查过程和推理过程。例1：某参观团根据下列的约束条件从A、B、C、D、E五个地方选定参观点。（1）若去A地，也必须去B地；（2）若去E地，A、D两地也必须去；（3）D、E两地至少去一地；（4）B、C两地只去一地；（5）C、D两地都去或都不去。问：参观团最多去几个地方？解：假定参观团去A地，我们以A(1)B表示在去A地的前提下，依条件（1）也应去B地，并以类似地箭头表示法来简化语言叙述。A(1)B(4)非C(5)非D(3)EA与D逻辑链中包含自相矛盾的“非D与D”，由条件，因此不能去A地。在不去A地的前提下，若去B，依然会导致上面的逻辑矛盾，所以也不能去B地，这样，非B(4）C(5）D.在去D地的情况下，由（3),若去E，则依据（2），A、D两地也必须去，与“不去A地的前提”矛盾，所以E地也不能去。因此参观团最多只能去C、D两地。点评：这个题目解答开始时，我们不知道A地去或不去，但逻辑上只有去或不去两种可能性。因此分两种情况进行讨论。按条件进行逻辑演绎，推出矛盾就表明前提不真，当然，也可以从B地，C地，。。。。。。去或不去开始讨论。例2：在远方的海岛上，住这两个名族，一个是诚实族，一个是谎言族。顾名思义，谎言族的人在说话或回答问题时总是说谎话；诚实族的人在说话或回答问题时全说真话。某记者在此岛上碰到四个岛民，记者照例对他们进行了访问：“你们都是什么族的？诚实族还是谎言族的？”这四个人回答如下：第一个人说：“我们四个人全都是谎言族的”第二个人说：“我们之中只有一个是谎言族的”第三个人说：“我们四个之中有两个是谎言族的”第四个人说：“我们是诚实族的”第4页问：第四个人是否真的是诚实族的？解：由第一个人的回答可以判断：（1）四个人你中一定有诚实族的人（因为如果四个人全是谎言族的，那么谁也不会说“我们四个人你全都是谎言族的”这句话）。（2）第一个人必是谎言族的。以上是由第一人的回答做出的逻辑判断。再由第二、第三人的回答进行推理：（3）第二人比是谎言族的。（因为他的话如果是实话，则第二、第三、第四人都应是诚实族的。即第二和第三人的回答应一致，但实际上第二人和第三人的回答是矛盾的，因此第二人的话不可能是实话）。下面再看第三个人，如果第三人是谎言族的，则由（1）可知第四人是诚实族的。如果第三个人是谎言族的，那么由他的话可以推断确定第三、第四两个人能是诚实族的。即无论第三人是诚实族还是谎言族，都推出第四人是诚实族的。所以第四人真的是诚实族的。点评：本题从第一人的回答开始进行判断，得出结论；再由第二、第三人的回答进行推理，得出结论；综合这些结论，分析得出“第四个人真的是诚实族的”结论。专题练习1.在5×5大小的正方形的格子中记上1或—1,使得每一行，每一列，及对角线上的数的和均不相等，可能吗？2.学校规定：每两个学生可以同时参加一个学习小组，但不得同时参加两个学习小组。求证：在此规定下任何两个学习小组最多能有一个相同的学生。3.算式：天上龙飞—飞龙上天上飞天龙相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字，且“飞”“龙”“上”“天”则算式的结果（差）为。4.解下面的数字字谜：好啊好啊√你来了是你好极了好极了5.设有n张一面为红色，另一面为绿色的卡片，分别编号为1—n号，并将卡片绿色的那面朝上。规定第i（i=1，2，...，n）次只将编号数为i的整数倍的那些卡片反过来。证明：经过n次这样的翻动，所有编号为完全平方数的卡片都是红色那面朝上，且编号不是完全平方数的卡片都是绿色那面朝上。第5页6.某市马拉松比赛有A，B，C，D四所大学的选手参加，选手中，A、B两所大学合计16名，B，C两所大学合计20名，C、D两所大学合计34名，并且选手的合数是按A，B，C，D大学的顺序参加的，试求各大学参赛选手的人数。7.L，M，N，O四个人进行百米赛跑，当问到比赛结果时，他们的回答是这样的：L：“N第一，M第二”；M：“N第二，O第三”；N：“O最后，L第二”；如果每个人的两个回答中，有且只有一个是正确的，而且没有并列名次，那么谁在比赛中得第一名？8.老师拿来分别装有1，2，3，4，5颗球的同样的密封盒子，让五个学生每人选三盒来猜其中球的个数。甲猜：第一盒3个，第四盒5个，第五盒1个；乙猜：第一盒4个，第二盒5个，第三盒2个；丙猜：第二盒2个，第四盒1个，第五盒4个；丁猜：第二盒3个，第三盒4个，第四盒5个；戊猜：第一盒1个，第三盒3个，第五盒2个。老师听罢，说“真巧，你们每个人都只猜对一盒，而且每一盒只有一人猜对。”请你判定，每个盒中装几个球？