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当前位置:首页 > 行业资料 > 其它行业文档 > 初三自主招生教学案14整除性
第1页整除性知识梳理:整除性:1、设,ab是给定的整数,0b,若存在整数c,使得abc,则称b整除a,记作ba,并称b是a的一个约数(因子),称a是b的一个倍数,如果不存在上述c,则称b不能整除a,记作|ba。整除有以下常用性质:(1)若|bc且|ca,则|ba。(2)若|ba且|bc,则对于任意的整数,uv有|()baucv。(3)若|ba,则或者0a,或者ab,因此若|ba且|ab,则ab。(4)(带余除法)设,ab为整数,0b,则存在整数q和r,使得abqr,其中0rb,并且q和r由上述条件唯一确定。2、数的整除性特征:(1)被2(或5)整除的数的特征是末位数字能被2(或5)整除。(2)被4(或25)整除的数的特征是末两位数字能被4(或25)整除。(3)被8(或125)整除的数的特征是末三位数字能被8(或125)整除。(4)被3(或9)整除的数的特征是数码之和能被3(或9)整除。(5)被11整除的数的特征是奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差事11的倍数。3、正整数分为三类:(1)1;(2)质数(素数):一个大于1的正整数,如果它的正因数只有1和它本身,则称为质(素)数;(3)如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子,则称这个自然数为合数。(1)整数a除1以外的最小正因数q是一个质数,如果a是合数,则qa。(2)若p是质数,a为任一整数,则必有|pa或(,)1ap。(3)p是质数,若12|npaaa,则p能整除12naaa中的某一个。(4)(算术基本定理)任何一个大于1的正整数a,能唯一地表示成质因数的乘积(不计较因数的排列顺序),即1212,1,2,,kaaakapppik其中ip为质(素)数(12kppp),上式叫做整数a的标准分解式。4、设,ab不全为零,同时整除,ab的整数称为它们的公约数,将其中最大一个称为,ab的最大公约数,用符号(,)ab表示。当(,)1ab,称a与b互质。同时为,ab倍数的数称为它们的公倍数,其中最小的一个称为,ab的最小公倍数,记作[,]ab。(1)若|,|mamb,则|(,)mab。(2)若0m,则(,)(,)mambmab。(3)若(,),abd则(,)1abdd。(4)若(,)1,(,)1ambm,则(,)1abm。(5),ab互质,若|,|acbc,则|abc。(6)设|,bac若(,)1bc,则|ba。第2页例题精讲:例1:若3100n能被10n整除,求正整数n的最大值。例2:设72|679ab,求,ab的值。例3:已知整数,,abc满足1abc,且(1)(1)(1)abbcca能被abc整除。求,,abc。例4:设,xy是正整数,xy且667xy,它们的最小公倍数是最大公约数的120倍,求,xy。例5:设n是正整数,44nn是质数,求n。同步练习:练习1:已知,,bxaba为互质的正整数(即,ab是正整数,且它们的最大公约数为1),且8a,2131x,求所有满足条件的x。练习2:已知,,,abcd均为质数,且满足1020cd,又ca也是质数且是奇数,223()dcabab,求()abcd的值。第3页练习3:设[,]rs表示正整数r和s的最小公倍数,求有序三元正整数组(,,)abc的个数,其中[,]1000,[,]2000,[,]2000abbcca。练习4:试求出所有满足下列条件的正整数,,,abcd:(1)1abcd;(2)(1)(1)(1)(1)abcd整除1abcd。练习5:已知一个七位自然数62427xy是99的倍数,试求950248xy的值。参考答案例1:答案:890第4页解析:由32100(10)(10100)900nnnn知,若3100n被10n整除,则900也应被10n整除。因此,n最大值是890.注:若()|(),()gnfnfn的次数高于()gn的次数,可以先将()fn变形为:()()()()fngnqnrn(()rn的次数小于()gn的次数),将问题转化为()|()gnrn。例2:答案:3,2ab解析:7289,且(8,9)1,所以只需讨论8、9都整除679ab的情况。若8|679ab,则8|79b,由除法可得2b;若9|679ab,则9|(6792)a,得3a。注:仅当(,)1ab时,才能由|abn,得到|,|anbn。例3:答案:2,3,5abc解析:222(1)(1)(1)()1abbccaabcabcabcabbcca而222()abcabcabc能被abc整除,所以1abbcca也能被abc整除。令1abbccakabc。因1abc,故k为正整数,且1111kcababc,因为2,3,4abc,所以111111,,432cba。所以1111343212k所以23,2aa。由213(2)21,222cbccbcc,得21,3,3,5cc。因为4c,所以5,3cb。注:(1)1,2ka也可以这样得到:因为1abc,所以abacbc。设1abbccakabc,则313kabcbcbc,所以3ka。(2)求,bc也可以用部分分解的方法。因为2210bcbc,所以(2)(2)3,21,23bcbc,得5,3cb。例4:答案:115,552xy或232,435xy解析:设(,),,xydxmdynd,其中(,)1mn,且mn,于是[,]xymnd。所以第5页115,552xy或232,435xy667120mdndmndd即3()2329(1)235(2)mndmn由mn及式(2)可得:123456810;;;;;;;12060403024201512mmmmmmmmnnnnnnnn由式(1)可知只能取58;;2415mmnn从而23d或29,故115,552xy或232,435xy例5:答案:1n解析:若n为偶数,则44nn是4的倍数,不是质数,。若n为奇数,设21,0nkk,则4444(21)42nknk2222[(21)222(21)2][(21)222(21)2]kkkkkkkk为了使44nn是质数,必须有22(21)222(21)21kkkk整理得22[(21)2]21kkk所以0,1kn。练习1:答案:1233455,,,,,,2357778解析:因为,,bxaba为互质的正整数,且8a,所以2131,ba即(21)(31)aba。当1a时,(21)1(31)1b,这样的正整数b是不存在。当2a时,(21)2(31)2b,故1b,此时12x。当3a时,(21)3(31)3b,故2b,此时23x。第6页当4a时,(21)4(31)4b,与a互质的正整数b是不存在。当5a时,(21)5(31)5b,故3b,此时35x。当6a时,(21)6(31)6b,与a互质的正整数b是不存在。当7a时,(21)7(31)7b,故3,4,5b,此时345,,777x。当8a时,(21)8(31)8b,故5b,此时58x。所以,满足条件的所有分数为1233455,,,,,,2357778。练习2:答案:180解析:因为,,,abcd均为质数,且满足1020cd,所以只能,cd只能为11、13、17或19,且19c。又ca也是质数且是奇数,所以2a。分别取11,13,17c,则9,11,15ca,只有13c符合要求。把13,2ca带入223()dcabab,得22138(2)dbb。若17d,则22150bb,解得3b或5b(舍去)。若19d,则22240bb,解得4b或6b(舍去)。所以2,3,13,17,()180abcdabcd。练习3:答案:又70个。解析:,,abc都是形如25mn的数,设33112225,25,25mnmnmnabc。由33[,]100025ab,知1212max(,)3,max(,)3mmnn,同理23231313max(,)4,max(,)3;max(,)4,max(,)3mmnnmmnn。由此,知3m应是4,12,mm中必有一是3,另一个可以使0、1、2、或3之任一种,因此12,mm的取法有7种。又,123,,nnn中必有两个是3,另一个是0、1、2、或3.因此123,,nnn取法又10种。故,(1,2,3)iimni不同取法共有71070种,即三元组共有70个。练习4:答案:(3,5,17,255),(2,4,10,80).解析:令1(1)(1)(1)(1)abcdkabcd且k为正整数。,,,abcd都是奇数或都是偶数,且11111abcdkabcd,第7页若an,则(1)11annan。若2a,则,,bcd都是偶数,4681284,6,8,2435735bcdk。由12(1)(1)(1)(1)abcdkabcd得22(1)(1)(1)1bcdbcd,得24k,即3k,则有3|1abcd,从而3|abcd。若4b,则8,10,14,bcd,从而8101422402237913819k,矛盾,所以4b。由313(1)(1)81cdcd,即(9)(9)71cd为素数,所以2,4,10,80abcd。若3a,则,,bcd都是奇数,35793155,7,9,132468128bcdk,所以2k。若5b,则234(1)(1)151cdcd,即(16)(16)239cd为素数,所以3,5,17,255abcd。若7b,3|31abcd,矛盾;若9b,则11c,若13d,因为3|31abcd,矛盾;若15b,与39111589122281014448k矛盾;若4a,则,,bcd都是偶数,6,8,10,bcd则k为奇数,且4681012833357963k,k不存在;若5a,则5678124567k,k不存在。综上所述,所求解为(3,5,17,255),(2,4,10,80).练习5:答案:2004解析:这数是99的倍数,代表它能被9和11整除,被9整除要62427xy是9的倍数,则39xy或18,6xy或15.被11整除要647272x是11的倍数,则2xy。又因为15xy时不成立(,xy不为整数),所以2,4xy。原式=950224482004
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