初三自主招生教学案26函数的最值问题

第1页最值问题知识梳理：常用的求函数最值的方法①直接法：利用常见函数的值域；一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R，当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}；当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}。②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2nmxcbxaxxf形式；③换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；分离常数法；⑤基本不等式法：转化成型如：)0(kxkxy，利用基本不等式求值域；⑤数形结合法：耐克函数的图像等。⑤判别式法例题精讲：1、直接法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）例1、求函数y=211x的最大值2、配方法：配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如20yaxbxca或第2页20Fxafxbfxca类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例2、求函数262xxy的最小值例3、若01x，函数2()2afxxax的最小值为m，用a表示m。3、换元法例4：求函数123xxy的最值。4、基本不等式法第3页例5、求函数)1(1222xxxxy的最小值。5、耐克函数单调性法（需掌握基本初等函数及以下函数的单调性）（1）)0,0(baxbaxy（2）)0,0(baxbaxy（3）)0,0(baxbaxy（4）)0,0(baxbaxy例6、求函数)221(1222xxxxy的最值。6、判别式法例7、求函数22221xxyxx的值域。同步练习：练习1：求函数12xyx在(3,2)x上的最大值和最小值.第4页练习2：求下列函数在(1,4]x上的值域：（1）2211xxyx；（2）2231xxyx.练习3：求函数y=2x-2x+5，x[-1，2]的值域。练习4：求函数22221xxyxx的值域；若是求(2,3)x的值域呢？第5页练习5:已知01x，求函数2()2fxxax的最大、最小值。练习6:已知二次函数2()1fxxax在区间[0,3]上的最小值为2，求实数a的值。练习7:已知2(1)21fxxx，求函数(1)(1)yfxfx的最小值。第6页参考答案【例题部分】例1：解析：【解】：22111,011xx显然函数的最大值为1.例2：解析：【解】：7-32622）（xxxy又032）（x7-7-32）（x函数的最小值为－7.第7页例3：解析：【解】：2222()2242aaaaafxxaxxx，对称轴为minmin2min2100()(0);22212()(1)1;22230102,()()224,022123,0241,22aaafxfaaafxfaaaaafxfaaaamaaa若，即，则若，即，则若，即则综上可得，例4：解析：【解】：令012xt，则4)1(21272321)(222ttttttfy4y例5：解析：【解】：原函数可化为)1(211111)1(2xxxxxy，当且仅当0x时取等号，故函数的最小值为2.注意：用基本不等式法，要判断取等条件是否满足。例6：解析：【解】：令tx1，则原函数可化为)31(1ttty，利用函数tty1在1,0上是减函数，在,1上是增函数，得原函数值域为2,103êú。所以函数的最小值为2，最大值为103。例7：解析：【解】：210xx恒成立，函数的定义域为R.由22221xxyxx得22120yxyxy。1当20y即2y时，300,0xxR；第8页2当20y即2y时，xR时，方程22120yxyxy恒有实根.y124´y22015y且2y.原函数的值域为1,5.【同步练习部分】练习1：解析：【解】：12331222xxyxxx，画图可知该函数在(3,2)x上为增函数，值域为(4,).练习2：解析：【解】：（1）令1,(0,3],1,txtxt原式转化为22(1)(1)1223,ttyttt由耐克函数的图像知[7,)y.（2）同上，令4211,(2,5],,(2,]5txtytyt.练习3：解析：【解】：将函数配方得：y=（x-1）2+4，x[-1，2]，由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin=4当x=-1，时maxy=8故函数的值域是：[4，8]。练习4：解析：【解】：（1）方法一：2222(1)33211xxxxyxxxx转化成分子为一次，分母为二次的函数的值域，得[1,5]y；方法二：由题意得xR，此式可看成是关于x的方程在R上有解，故得22(1)22yxxxx，整理可得22(1)20yxyxy（）在R上有解（1）2y时，0x；第9页（2）2y时，2214(2)0yy（），得[1,5]y；综上所述：[1,5]y（2）当x有范围时只能考虑方法一了，解题步骤如方法一，2222(1)33211xxxxyxxxx，(2,3)x，转化为分子为一次分母为二次的函数的值域为817(,)713y【分子分母同为二次的函数形式的值域亦可通过分离来做，转化成分子为一次分母为二次的函数的值域进行求解，当函数的定义域为R时，可考虑第二种方法，为判别式法.】练习5：解析：【解】：222()2()fxxaxxaa，对称轴为xa（1）若0a，则min()(0)0fxf，max()(1)12fxfa；（2）若1a，则min()(1)12fxfa，max()(0)0fxf；（3）若01a，则2min()()fxfaa若102a，则max()(1)12fxfa若112a，则max()(0)0fxf。练习6：解析：【解】：2221124aayxaxxmin2minmin10()012220306()()122242,210336()(3)832,231232afxfaaaafxfaaaafxfaaa当时，当时，即，，解得只有满足条件。当，即，解得舍去综合，满足条件的练习7：解析：【解】：21,1,()1211xuxufuuu设则所以222(1)(1)13[21]1(1)(1)1yfxfxxxxyfxfx所以函数的最小值为。第10页