初三自主招生教学案29圆的进阶

第1页圆的进阶知识梳理：1、圆周角定理：1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径4）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角3、弦切角定理：1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等4、相交弦定理：1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项5、切割线定理：1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等例题精讲：例1：如图，在平行四边形ABCD中，34AB，32AD，ADBD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交CD于FF，则平行四边形ABCD被⊙O截得的阴影部分的面积为_______．例2：如图，ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CECB，求证：（1）BE∥DG；（2）FEBFCFBC22．第2页例3：已知：如图（1），⊙1O与⊙2O相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙1O、⊙2O于C、D两点（C、D不与B重合），连结BD，过点C作BD的平行线交⊙1O于点E，连BE．（1）求证：BE是⊙O2的切线；（2）如图（2），若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和⊙O2的位置关系（不要求证明）．同步练习（稍难）：第3页练习1：如图，⊙O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且4:1:MAMB，求工件半径的长.练习2：如图，已知CP为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB切⊙O于点D，并与CP的延长线相交于点B，又BPBD2．求证：（1）PBCP3；（2）PCAC．练习3：如图，已知O是线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段OA为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB垂线与AD的延长线交于点E，连结CD．若2AC，且AC、AD的长是关于x的方程0542kxx的两个根．（1）证明AE切⊙O于点D；（2）求线段EB的长；（3）求ADCtan的值．参考答案第4页例1：答案：π33215解析：连结OE、DE．∵BDAD，且34AB，32AD，∴30DBA，且6BD．∵BD为直径，∴90DEB．∴330sinBDDE，33DE．∴329DEBS．∵O为BD的中点，∴49BOES．∵321BDDO，60DOE，∴33215)(2EOBSSADBSS扇形阴影．例2：答案：证明略解析：（1）∵BD是⊙O的切线，BPC是⊙O的割线，∴BCBPBD2．∵BPBD2，∴BCBPBD24．∴BCBP4．∵PCBPBC，∴BCBPBP4．∴BPPC3．（2）连结DO．∵AB切⊙O于点D，AC切⊙O于点C，∴90ACBODB．∵BB，∴ODB∽ACB．∴2142BPBPBCBDACDO．∴DOAC2．∴DOPC2．∴PCAC．例3：答案：仍是切线解析：（1）连结AB，作⊙2O的直径BH，连结AH．则90HABH，ADBH，ECAEBA．∵EC∥BD，∴EBAACEADB．∴90ABHEBA．即90EBH．∴BE是⊙2O的切线．（2）同理可知，BE仍是⊙2O的切线．第5页同步练习：练习1：答案：10cm解析：把OM向两方延长，分别交⊙O于C、D两点．设⊙O的半径为R．从图中知，cmAB15．又4:1:MAMB，∴)(31551cmMB，cmMA12．从图中知，8RCM，8RMD，由相交弦定理，得MDCMBMAM．∴)8)(8(312RR．解此方程，得10R．故工件的半径长为10cm．练习2：答案：9解析：由切割线定理，得PEPDPA2．∴10PA．∴10PCPB．∵25DEPDPE，∴6DB．由相交弦定理，得BDBEBCAB．∴9AB．练习3：答案：1）证略2）54BE3）55tanADC解析：（1）连结OD．∵OA是半圆的直径，∴90ADO．∴AE切⊙O于点D．（2）∵AC、AD的长是关于x的方程0542kxx的两个根，且2AC，52ADAC，∴54AD．∵AD是⊙O的切线，ACB为割线，∴ABACAD2．又52AD，2AC，∴10AB．则8BC，4OB．∵ABBE，∴BE切⊙O于B．又AE切⊙O于点D，∴DEBE．在ABERt中，设xBE，由勾股定理，得22210)52(xx．解此方程，得54x．即BE的长为54．（3）连结BD，有90CDB．∵AD切⊙O于D，∴ABDADC，且BDCDABDADCtantan．在ADC和ABD中，AA，ABDADC，第6页∴ADC∽ABD．∴551052ABADBDCD．∴55tanADC．