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第19讲平行四边形(含多边形)1.平行四边形(1)性质:①平行四边形两组对边分别__相等__;②平行四边形对角相等,邻角__互补__;③平行四边形对角线互相__平分__;④平行四边形是__中心__对称图形.(2)判定方法:①定义:两组对边平行且相等的四边形是平行四边形;②两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形;③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;④两组对角分别相等的四边形是平行四边形;⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.2.多边形及其性质(1)多边形:①内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)·180°;②外角和定理:n边形的外角和为360°;③对角线:过n边形的一个顶点可引n-3条对角线,n边形共有n(n-3)2条对角线.(2)正多边形:①正多边形各边相等,各内角相等,各外角相等;②正n边形的每一个内角为(n-2)180°n(n≥3),每一个外角为360°n;③对称性:所有的正多边形都是轴对称图形,正n边形有_n__条对称轴;当n是奇数时,是轴对称图形,不是中心对称图形;当n是偶数时,既是轴对称图形又是中心对称图形.考点1:多边形内角和计算【例题1】在一个多边形中,一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.(1)如果这个多边形是五边形,请求出这个外角的度数;(2)是否存在符合题意的其他多边形?如果存在,请求出边数及这个外角的度数;如果不存在,请说明理由.【解析】:(1)设这个外角的度数是x°.由题意,得(5-2)×180-(180-x)+x=600.解得x=120.故这个外角的度数是120°.(2)存在.设这个多边形的边数为n,这个外角的度数是x°.由题意,得(n-2)×180-(180-x)+x=600.整理,得x=570-90n.∵0<x<180,即0<570-90n<180.解得413n613.又∵n为正整数,∴n=5或n=6.当n=6时,x=30.故这个多边形的边数是6,这个外角的度数为30°.归纳:本题注意隐含条件的挖掘,即邻补角和为180°及凸多边形的一个内角是小于平角的角.考点2:平行四边形的性质与判定【例题2】(2017·大庆)如图,以BC为底边的等腰△ABC,点D,E,G分别在BC,AB,AC上,且EG∥BC,DE∥AC,延长GE至点F,使得BE=BF.(1)求证:四边形BDEF为平行四边形;(2)当∠C=45°,BD=2时,求D,F两点间的距离.【解析】(1)证明:∵△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠C.∵EG∥BC,DE∥AC,∴∠AEG=∠ABC=∠C,四边形CDEG是平行四边形,∴∠DEG=∠C=∠AEG.∵BE=BF,∴∠F=∠BEF=∠AEG,∴∠F=∠DEG,∴BF∥DE.又∵EG∥BC,即FE∥BD,∴四边形BDEF为平行四边形;(2)解:∵∠C=45°,∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°,∴△BDE,△BEF均是等腰直角三角形,∴BF=BE=22BD=2.过点F作FM⊥BD交DB的延长线于点M,连接DF,如解图所示.则△BFM是等腰直角三角形.∴FM=BM=22BF=1,∴DM=3.在Rt△DFM中,由勾股定理得DF=12+32=10.即D,F两点间的距离为10.考点3:关于平行四边形的综合探究问题【例题3】(2018四川省眉山市15分)如图①,在四边形ABCD中,AC⊥BD于点E,AB=AC=BD,点M为BC中点,N为线段AM上的点,且MB=MN.(1)求证:BN平分∠ABE;(2)若BD=1,连结DN,当四边形DNBC为平行四边形时,求线段BC的长;(3)如图②,若点F为AB的中点,连结FN、FM,求证:△MFN∽△BDC.【答案】(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵M为BC中点,∴AM⊥BC,在Rt△ABM中,∴∠ABC+∠MAB=90°,∵AC⊥BD,在Rt△CBE中,∴∠ACB+∠EBC=90°,∴∠MAB=∠EBC,又∵MB=MN,AM⊥BC,∴△NBM为等腰直角三角形,∴∠MBN=∠MNB=45°,∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°,∵∠MAB=∠EBC,∴∠NBE=∠ABN,∴BN平分∠ABE.(2)解:∵四边形DNBC为平行四边形,设BM=CM=MN=a,则DN=BC=2a,在△ABN和△DBN中,∵∴△ABN≌△DBN中(SAS),∴AN=DN=2a,在Rt△ABM中,∵BD=1,AB=AC=BD,∴AB=1,∴AM2+BM2=AB2,∴(2a+a)2+a2=1,解得:a=.∴BC=2a=.(3)解证明:∵MB=MN,M为BC中点,∴MN=MB=BC,又∵F是AB的中点,AB=AC=BD,在Rt△ABM中,∴MF=AF=BF=AB=BD,∴∠MAB=∠FMN,由(1)知∠MAB=∠EBC,∴∠FMN=∠EBC,又∵,∴△MFN∽△BDC.一、选择题:1.(2018·浙江宁波·4分)已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为()A.6B.7C.8D.9【答案】D【解答】解:正多边形的一个外角等于40°,且外角和为360°,则这个正多边形的边数是:360°÷40°=9.故选:D.2.在平行四边形ABCD中,∠B=60°,那么下列各式中,不能成立的是()A.∠D=60°B.∠A=120°C.∠C+∠D=180°D.∠C+∠A=180°【答案】D【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∠B=∠D,而∠B=60°,∴∠A=∠C=120°,∠D=60°.所以D是错误的.故选D.3.(2018•宁波)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为()A.50°B.40°C.30°D.20°【答案】B【解答】解:∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°,∵对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,∴EO是△DBC的中位线,∴EO∥BC,∴∠1=∠ACB=40°.故选:B.4.(2018·浙江省台州·4分)如图,在▱ABCD中,AB=2,BC=3.以点C为圆心,适当长为半径画弧,交BC于点P,交CD于点Q,再分别以点P,Q为圆心,大于PQ的长为半径画弧,两弧相交于点N,射线CN交BA的延长线于点E,则AE的长是()A.B.1C.D.【答案】B【解答】解:∵由题意可知CF是∠BCD的平分线,∴∠BCE=∠DCE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠DCE=∠E,∠BCE=∠AEC,∴BE=BC=3,∵AB=2,∴AE=BE﹣AB=1,故选:B.5.(2018•陕西•3分)点O是平行四边形ABCD的对称中心,AD>AB,E.F分别是AB边上的点,且EF=AB;G、H分别是BC边上的点,且GH=BC;若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积,则S1,S2之间的等量关系是().A.2S1=3S2.B.2S1=S2.C.S1=3S2.D.3S1=2S2.【答案】A【详解】过点O分别作OM⊥BC,垂足为M,作ON⊥AB,垂足为N,∵点O是平行四边形ABCD的对称中心,∴S平行四边形ABCD=AB•2ON,S平行四边形ABCD=BC•2OM,∴AB•ON=BC•OM,∵S1=EF•ON,S2=GH•OM,EF=AB,GH=BC,∴S1=AB•ON,S2=BC•OM,∴2S1=3S2,故答案为:2S1=3S2.故选A.二、填空题:6.(2018·湖南省衡阳·3分)如图,▱ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.如果△CDM的周长为8,那么▱ABCD的周长是.【答案】16【解答】解:∵ABCD是平行四边形,∴OA=OC,∵OM⊥AC,∴AM=MC.∴△CDM的周长=AD+CD=8,∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16.故答案为16.7.(2018•十堰)如图,已知▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC=8,BD=10,AB=5,则△OCD的周长为.【答案】14【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=5,OA=OC=4,OB=OD=5,∴△OCD的周长=5+4+5=14,故答案为14.8.(2018•株洲市•3分)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,且BD=CD,过点A作AM⊥BD于点M,过点D作DN⊥AB于点N,且DN=,在DB的延长线上取一点P,满足∠ABD=∠MAP+∠PAB,则AP=_____.【答案】6【解析】分析:根据BD=CD,AB=CD,可得BD=BA,再根据AM⊥BD,DN⊥AB,即可得到DN=AM=3,依据∠ABD=∠MAP+∠PAB,∠ABD=∠P+∠BAP,即可得到△APM是等腰直角三角形,进而得到AP=AM=6.详解:∵BD=CD,AB=CD,∴BD=BA,又∵AM⊥BD,DN⊥AB,∴DN=AM=3,又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB,∠ABD=∠P+∠BAP,∴∠P=∠PAM,∴△APM是等腰直角三角形,∴AP=AM=6,故答案为:6.9.(2018•无锡)如图,已知∠XOY=60°,点A在边OX上,OA=2.过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC,点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PD∥OY交OX于点D,作PE∥OX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则a+2b的取值范围是.【答案】2≤a+2b≤5.【解答】解:过P作PH⊥OY交于点H,∵PD∥OY,PE∥OX,∴四边形EODP是平行四边形,∠HEP=∠XOY=60°,∴EP=OD=a,Rt△HEP中,∠EPH=30°,∴EH=EP=a,∴a+2b=2(a+b)=2(EH+EO)=2OH,当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的最小值=OC=OA=1,即a+2b的最小值是2;当P在点B时,OH的最大值是:1+=,即(a+2b)的最大值是5,∴2≤a+2b≤5.三、解答题:10.已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.【解析】:(1)甲对,乙不对.理由:∵θ=360°,∴(n-2)×180=360.解得n=4.∵θ=630°,∴(n-2)×180=630.解得n=112.∵n为整数,∴θ不能取630°.∴甲对,乙不对.(2)依题意,得(n-2)×180+360=(n+x-2)×180.解得x=2.11.(2017·河北模拟)看图回答问题:(1)内角和为2018°,佳佳为什么说不可能?(2)音音求的是几边形的内角和?【解析】:(1)∵n边形的内角和是(n-2)·180°,∴内角和一定是180°的倍数.∵2018÷180=11……38,∴内角和为2018°不可能.(2)设漏加的内角为x°,依题意,得(n-2)·180=2018+x,∴x=180n-2378.∵90<x<180,∴90<180n-2378<180.解得133245<n<141990,且n为整数.∴多边形的边数是14.故音音求的是十四边形的内角和.12.如图,在▱ABCD中,E,F在对角线AC上.(1)若BE,DF分别是△ABO,△CDO的中线,求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)若BE,DF分别是△ABO,△CDO的角平分线,四边形BEDF还是平行四边形吗?若BE,DF分别是△ABO,△CDO的高线时,四边形BEDF还是平行四边形吗?【点拨】(1)可从对角线互相平分上证明四边形BEDF是平行四边形;(2)BE,DF分别是△ABO,△CDO的角平分线和高线时,可得到△BOE≌△DOF,仍有OE=OF,则有四边形BEDF是平行四边形.【解答】解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵BE,DF分别是△ABO,△CDO的中线,∴OE=OF.∴四边形BEDF是平
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