第五章对流扩散问题(一维稳态对流扩散问题)

第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题5.2一维稳态对流扩散问题w)x(e)x(e)x(e)x(xWPEwe5.2.1基本方程与差分方程)dxd(dxddxud其中，u已知，且满足：0dxud常数或uwewe)dxd()dxd()u()u(第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题wweewwee)dxd()dxd()u()u(假定两节点之间变量呈线性分布，为方便起见，取控制容积界面在两节点之间的中点，则：2EPe2PWwePEe)x()dxd(wWPw)x()dxd(第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题wWPwePEeWPwPEe)x()()x()()()u(21)()u(21定义uFxD第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题其中，2FDaeeEWWEEPPaaa2FDa)FF(aa2FD2FDaweWEwweeP第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题5.2.2四项基本准则验证如何既合理准确，又能是界面通量一致，我们在前边已经学过了，易知：假定节点之间具有线性分布是能够满足通量准则的。同时，观察基本方程，我们可以发现其不包含源项，所以，也就没有源项负线化的问题。为此，我们重点在此校验系数之和准则和正系数准则。第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题1相邻系数之和)dxd(dxddxud是方程的解代入+c))dx)c(d((dxddxuddxudcdxuddx)c(ud+c也是方程的解差分方程应满足相邻系数之和准则第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题中心节点系数相邻节点系数PaWEa,aWEPaaa满足相邻系数之和准则WWEEPPaaa)FF(aaaweWEP考虑到连续方程Fe-Fw=0第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题2正系数准则02FDaeeEWWEEPPaaa0)FF(aaaweWEP02FDa对流通量F的正负是这样来规定，与坐标轴线的正向一致的对流通量规定为正值，与坐标轴线的正向相反的对流通量规定为负值。第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题几点说明上述分段线性分布假说，对对流项来说意味着采用中心差分格式，因为：从控制容积角度来看：x2ux/))](21)(21(u[x/)]()u(21)()u(21[dxudWEWPPEWPwPEe从中心差分格式的Taylor级数展开x2u)x()x(udxdudxudWEweWE所以，也可以说对流扩散问题的中心差分格式不满足正系数准则第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题正系数准则的破坏会使差分方程不真实，从而引起不正确的计算结果。如：4FF1DDweweWWEEPPaaa24431a3241a1241aPWEWEP32100,200WE50P200100WE250P某问题结果不真实第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题5.1FF1DDweweWWEEPPaaa25.15.175.125.0a75.125.11a25.025.11aPWEWEP75.125.02100,200WE5.112P200100WE5.187P某问题结果合理第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题出现负系数意味着，从而违反了斯卡巴勒准则。这样差分方程的逐点迭代求解就有可能发散npPaa对于扩散项为零的极端情况，中心差分格式将导致，从而使差分方程变得不适宜用逐点迭代法求解，也不适宜用其它迭代方法求解。当时，正系数准则能够得到满足，因而上边得到的差分方程是真实的。也就是说对于低雷诺数(即)流动，中心差分格式仍然是可以接受的D2F较小D/F0aP第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题综上所述，出现负系数不论从差分方程的真实性，还是差分方程的求解来看，都是不可接受的，同时我们所遇到的对流扩散问题不总是低雷诺数的。所以，针对负系数的问题，我们必须加以解决，否则对这类问题的数值计算则无法实现和进行。那么怎样来解决呢？第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题5.2.3保证正系数准则的方法为了解决负系数问题，保证正系数准则得到遵守，我们首先来看看负系数及其引起不真实结果的根源是什么？非常幸运的是对我们所研究的一维稳态对流扩散问题在扩散系数为常数的情况下，是具有精确解的。自然而然，我们期望通过对精确解的了解，来认识中心差分格式的负系数根源，以及寻找保证正系数准则的方法。第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题精确解)dxd(dxddxud假设扩散系数为常数，且在区域具有以下边界Lx00L在x=0处在x=L处则在求解区域上，上述方程的解如下1)Pexp(1)L/Pxexp(0L0第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题其中，P称之为贝克列数，定义如下：uLP显然，它反映了对流和扩散之间的相对强弱对不同贝克列数，变量与x之间的变化关系如下图所示第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题对不同贝克列数，变量与x之间的变化关系如下图所示L0LL/20P1P=1P=0P=-1P-1第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题说明由图很容易看出，只有在贝克列数为零的极限条件下，即对纯扩散问题或导热问题，变量在任意两点之间的变化才是线性的。即在没有流动的情况下，我们假定变量在任意两个节点之间的线性分布才是可以接受的。当贝克列数不为零时，即存在对流过程时，变量在任意两点之间的变化是偏离线性的。贝克列数的绝对值越大，这种偏离越严重。所以我们在用控制容积法推导差分方程时，假定任意两个节点之间变量呈线性变化显然是有问题的。第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题当贝克列数不为零时，两节点处的变量对位于它们之间中间位置处的变量的影响是不对称的。上游节点的影响大于下游节点的影响，随着贝克列数的绝对值的增大，这种上游节点的影响也越来越大，直到完全受上游节点的影响，甚至连扩散都几乎不存在了。造成这些现象的根源在于对流项。是由于对流项的影响区是有方向的，它对下游方向的影响要大于对上游方向的影响。而对扩散项来说，只要有梯度存在，就必然有扩散存在，而且其影响区总是波及其两侧，并不因为扩散通量的正负而表现出不同的影响特性。第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题所以，当，即意味着两节点对其间变量分布的影响特性是受扩散控制的，当时，即意味着两节点对其间变量分布的影响特性是受对流控制的。对于前者，两节点之间的变量分布偏离线性分布，但尚不显著，而对于后者两节点之间的变量分布则严重偏离线性分布。由对流扩散问题的精确解及其分析来看中心差分格式的缺陷在于两节点之间变量呈线性分布的假设上。基于这个认识，人们提出了许多差分格式，以解决对流扩散问题采用中心差分格式所出现的正系数问题。下边我们来逐个了解一下。D2FD2F第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题上风格式UpwindScheme由前边分析，我们可以看出中心差分格式的缺陷在于控制容积界面上的变量用其相邻两侧的节点进行平均，同时，又注意到控制容积界面上变量值受其上游变量值的影响最大，所以，针对对流扩散问题，提出以下差分格式：扩散项：扩散项的处理方式和以前一样，即在计算扩散项中的梯度时仍采用了线性分布假设对流项：对流项中，控制容积界面上变量值按下列假设计算：控制容积界面上的变量值等于上风侧网格节点上的值。第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题对控制方程在P点的控制容积积分后，得到如下方程eewe)dxd()dxd()u()u(扩散项和以前的处理方法一样，即有：wEPwePEewwee)x()()x()()u()u(而控制容积界面上的变量值取其相应上风侧网格节点上的值。即：第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题同样Pe如果0FeEe如果0FeWw0Fw如果如果0FwPw为了能写出差分方程，我们定义一个新的算子，如下：)B,A(AMAXB,A第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题代入积分方程，并整理，即得：则我们可以把积分方程等式左边的两项写成如下形式：0,F0,F)u(eEePee0,F0,F)u(wPWWEEPPaaa0,FDaeeE其中0,FDa)FF(aa0,FD0,FDaweWEwweeP第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题很显然，对上风格式的差分方程，系数之和准则和正系数准则都是满足的。为此，我们将它与中心差分格式做一个比较如下：上风格式中心差分格式控制容积界面上变量的选取物理意义清晰，合理仅具有数学意义，无物理考虑系数之和准则满足满足正系数准则满足不满足斯卡巴勒准则满足不满足对流、扩散项矛盾不矛盾第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题举例WWEEPPaaa0,FDaeeE0,FDa)FF(aa0,FD0,FDaweWEwweeP某问题4FF1DDwewe64451a541a1aPWEWEP56200,100EW116P200100WE183P2014.198P7986.101P%67.7%95.13UpwindScheme第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题CentralScheme4FF1DDweweWWEEPPaaa24431a3241a1241aPWEWEP32100,200WE50P200100WE250P某问题结果不真实7986.101P2014.198P第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题7574.181P5.1FF1DDweweWWEEPPaaa5.35.15.15.21a5.25.11a1aPWEWEP5.25.3100,200WE5714.128P200100WE4286.171P某问题5.68%2426.118P8.74%79.75%79.84%相对精确解的误差US相对CS的解误差增大了…UpwindScheme第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题2426.118P5.1FF1DDweweWWEEPPaaa25.15.175.125.0a75.125.11a25.025.11aPWEWEP75.125.02100,200WE5.112P200100WE5.187P某问题3.16%7574.181P4.86%CentralScheme第五章对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题尽管上风格式有如此众多的优点，但是，它的缺点也是一样的显著。从两节点之间变量的精确分布来看，当贝克列数的绝对值不是很大时，把控制容积界面上的值取为上游节点的值显然是有很大误差的。即在这种情况下，上游节点的变量值对控制容积界面上的变量值的影响还没有大到由它来规定控制容积界面上的变量值的地步。所以，当贝克列数的绝对值不是很大时，上风格式显然是夸大了上游节点的