空中加油(数学建模)

关于空中加油问题的探究物理学院张亮朱剑胜一、问题的提出：设A为空军基地，基地有一架作战飞机（简称主机）和n架加油机（简称辅机）。主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，油箱装满油后的最大航程均为L（公里）。辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油。今主机要执行某作战任务（如侦察或空投），所有飞机在完成自身的任务后均要求返回基地。主机的最大作战半径（简称作战半径）是指主机在n架辅机的协助下所能飞到的（并安全返回）离基地A的最远距离。显然当0n时，作战半径2/0Lr。问题1设飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计，每架飞机只能上天一次，在上述假设下的作战半径记为nr。当4,3,2,1n时，求作战半径nr。问题2在问题1的假设下，当4n时，尽你的可能求出nr（提示：先假设辅机可以分为两类，第一类专为主机前进服务，第二类专为主机返回服务，再考虑一般情形），或给出nr的上、下界；讨论当n的过程中nr与n的渐近关系；试给出判断最优作战方案（主机能够飞到nr处）的必要条件或充分条件。问题3若每架辅机可以多次上天，辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行12/L的时间，飞机第一次起飞、转向、在空中加油的耗时仍忽略不计，此时的作战半径记为nR，讨论与问题1、问题2类似的问题。问题4若另有2个待建的空军基地（或航空母舰）21,AA，有n架辅机，主机从基地A起飞，向一给定的方向飞行，必须在基地A降落，辅机可在任一基地待命，可多次起飞，且可在任一基地降落。其他同问题3的假设，讨论21,AA的选址和主机的作战半径*nR。问题5设ABCD为矩形，LAB4，LAD2，DBA,,为三个空军基地，主机从A起飞，到C执行任务（执行任务时间仍忽略不计）再返回A。假设辅机起飞、降落的基地可任意选择，其他同问题3的假设，试按最快到达并返回和最少辅机架数两种情况给出你的作战方案。二、问题分析：对于第一问，由于计算量不大，采用手工计算加油点之间距离的方法，得到在辅机数量为1～4的情况下的作战半径分别为23L、56L、1112L、L。对于第二问，我们根据第一问中找到的定理以及规律进行编程求解，先考虑m较小时，不用辅机接辅机的情况，使m增加，求出md（表示m架辅机能将主机送到的最远距离，主机与辅机分开时满油，且m架辅机不需要在用辅机接回，都能返回基地，接辅机也同样如此表示），那么可求得最多2nm时的主机作战半径大小。然后再考虑m较大时，使用辅机接辅机的情况，计算需要使用辅机接回基地的辅机加油点位置，得到md，从而得到主机的作战半径nr，与n近似成对数函数。第三问中引进了二次起飞间隔，通过对称性，将n架辅机看作2n架辅机来使用，同时对主机飞行航程进行调整，使得所有的飞机都能接到主机。分情况讨论主机的最大作战半径。对于第四问，首先确定其余两个基地与本基地在同一直线上。通过讨论1n的情况来确定基地之间的距离，进而讨论n更大时候的情况。在n较大时将问题转化为第三问来解决。对于第五问，综合前面四问得到的结果来进行计算，得到最短时间需要在A基地辅机数量为6494架；按最少飞机来计算时，需要比较两种路线所需要辅机的数量，最后发现按ABC的路线飞行需要的辅机数量少得到辅机需要81架，其中27架放在A，54架放在B。三、模型假设1、主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，油箱装满油后的最大航程均为L（公里）。2、辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油。3、飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计。4、多架辅机可以在基地同时加油，辅机也可以同时给多个飞机加油。5、为方便计算，设每1油量飞行的航程为1，即满油量即为L。假设飞机飞行速度为L，即飞行L的距离所用时间为1。四、符号说明L：主机和辅机加满油后的最大航程。nr：主机在n架辅机的协助下的作战半径。Q：加油点。m：表示负责送主机的辅机数量。md：表示m架辅机能将主机送到的最远距离，主机与辅机分开时满油，且m架辅机不需要在用辅机接回，都能返回基地。ix：第i架辅机的加油点与上一个加油点之间的距离。k：需要用辅机来接的辅机数量。t：不需要用辅机接的辅机数量。ic：接编号i的辅机的辅机数量。五、模型建立首先证明下面5条定理及其推论。定理1：所有飞机满油起飞、空油降落才能使主机作战半径达到最大。证明：满油起飞和空油降落同理，证明其一即可。假设有某假飞机不是满油起飞或者空油降落，此时主机作战半径为nr，那么：（1）若是主机，则显然没有达到最大作战半径。（2）若该飞机是辅机，辅机在保证自己能飞回基地的情况下，可以将一部分油输送给主机，设此部分油可以供飞机飞行r，那么主机的作战半径可以增加12r。定理2：满油起飞空油降落的辅机飞行航程越小，主机的作战半径越大证明：当有n架辅机时，主机和辅机飞行的总航程为(1)SnL为一常数。设辅机飞行的总航程为'S，那么主机的作战半径为2nSSr,显然'S越小则nr越大。定理3：在任一加油点，只有一架辅机给在此加油点的其他飞机（主机或者辅机）加满油返回，否则主机作战半径达不到最大。证明：反证法，如果存在两架飞机同时给其他飞机加满油后同时返回，此方法不是最优。如图1所示，假设在1Q处有两架飞机记为A和B，在给其他2n图1架飞机加满油后自己飞回基地A。在1Q处，B和其它2n架飞机同时前进的机群的油箱还能装油总量能飞行的距离设为s在1Q的前面找一点2Q，它与1Q间的dQ1Q2A距离为d。机群在2Q处的总油量比在1Q处多nd。当nds时那么A飞机可以在2Q处就可以返回，在2Q处返回比在1Q处返回节余可飞行距离为d的油量使1n架飞机继续前进。所以，在2Q点返航比在1Q点返航更好。这与1Q点是最优返航点矛盾。所以，在2Q处一架飞机返回比两架飞机在1Q处一起返回好。为了使节约的油最多，这要求返航点2Q尽可能超前，使d尽可能地大。但又不能超越nds的约束。所以，当nds时d取得最大。此时，除了返航的辅机外，其余的1n架飞机全部满油。加油飞机数大于2架时的情况与两架飞机类似。定理4：如果仅靠m架辅机能将主机送达到的最远距离为md(此刻主机满油，同时满足m架辅机不需要另外的辅机去接，就都能返回基地)，那么仅靠m架辅机能将主机接回的最远距离也为md。证明：若m架辅机专为主机前进服务和m架辅机专为主机返回服务(m架辅机不一定是同时起飞)，则存在这样一种调度方式：在为主机前进服务和主机返回服务的两个过程中，辅机给主机的加油点或辅机对辅机加油点是关于航程对称的，使得专为主机前进服务的m架辅机能将主机送达到的最远距离md，而专为主机返回服务的m架辅机能将主机接回来。根据对称性，专为主机前进服务的m架辅机能将主机送到最远距离md，也就是说，专为主机返回服务的m架辅机能将主机接回的最远距离。即专为主机前进服务的m架辅机和专为主机返回服务m架辅机起飞和加油点顺序是完全颠倒的。当n比较大时会出现辅机给辅机加油和辅机接辅机的情况。定理5：假定有n架辅机。当n为偶数时，送主机的辅机数与接主机的辅机数相等；n为奇数时，两者相差1。在这种分配方案下，作战半径最大。证明：假设n架辅机中，1n架辅机送主机，2n架辅机接主机。不妨设12nn。1n架辅机送主机，能将主机送往最大距离为1nd。2n架辅机接主机，能接到主机的最大距离为2nd。显然有以下两个不等式：111nndd221nndd当n为偶数时，若12nn那么能将主机送达的最远距离应该根据接主机的辅机数量来计算，即2nd，此时将送主机的辅机调整部分到接主机的辅机中使得：12nn这样2n增大可以使主机的作战半径增大。同样，当n为奇数时，也应该尽量让1n和2n接近，才能使主机的作战半径最大。根据以上定理，可得以下两个结论：结论1：可将辅机与主机一样看待，将辅机送(接)主机得到结果同样也能用在辅机送(接)辅机上。若m架辅机能将主机送达(或者接)的最远距离为md，那么m架辅机也能将辅机送达(或者接)的最远距离是md。结论2：在任一加油点Q时，只有一架辅机给其他飞机加油。当这架辅机送飞机(辅机或主机或两者都有)前进时，在加油点Q处，除要给别的飞机加油的这架辅机外，其他飞机都要被加油，并且被加油飞机加油后油箱都是满的；当这架辅机接飞机(辅机或主机或两者都有)返回时，在加油点Q处，这架辅机给要接的飞机加完油后，所有在这一点的飞机(含辅机)油箱内的油量都是一样的。空中加油模型化简为求专为主机前进服务的m架辅机能将主机送达的最远距离md的问题。六、具体问题解决第一问：用m表示送主机的辅机数量，接主机的数量为nm，使2mn以保证能将主机接回基地。1n：1m，0nm，13Ld，11223dLrL；(1)2n：1m，1nm，13Ld，112526ddLrL；(2)3n：1m，2nm，13Ld，212dL，12311212ddLrL；(3)4n：2m，2nm，212dL，2242ddLrL；(4)第二问：当有m架飞机送主机时，第一架辅机加油点位置112xLm，第二架辅机加油点与第一个加油点距离2x由下式求得：221mxxxL212xLm(5)经过计算得3412xxLm。即2mmdLm(6)在这种辅机没有接辅机的情况下，当m时，md的极限为L，即主机的最大作战半径只能为1.5L。当m较大时，假设有k架辅机需要用辅机来接，接这k架辅机需要的辅机数量分别为(1,2,3)icik，有以下关系：1kikctm(7)其余的1kitmkc架辅机可将这k架辅机以及主机送到td地方，这k架辅机编号为1~k，1号辅机加油点位置为1x，可以算得：112cttdLdxdk(8)2号加油点与1号加油点之间距离2x，21211cdLxxxk(9)依次计算可得递推公式：113iciiidLxxxki(10)113kckkkdLxxx(11)在不同的组合12(,,)kkccc中，找到一组最大的kx。这样得到的主机作战半径最大。程序算法如下：（1）对不同的m，穷举k，t，ic三部分，其中有1m,2mk，1ic，，1kimktc；（2）用上面的公式递推求解kx；（3）回到（1）直到所有的情况都得到求解；（4）找到kx最大的那种情况并赋值给md。在编程时，考虑到m较大时，6架以上辅机接一架辅机的情况中对于md的影响不大，故所有ic均从0穷举至6。根据以上算法用Matlab7.0编程得到的结果如下表：0.33330.50000.66670.66670.83330.83331.00001.00001.00001.16671.16671.16671.33331.33331.33331.33331.50001.50001.50001.50001.50001.66671.66671.66671.66671.66671.66671.83331.83331.83331.83331.83331.83331.83332.00002.00002.00002.00002.00002.00002.00002.00002.16672.16672.16672.16672.16672.16672.16672.16672.16672.33332.33332.33332.33332.33332.33332.33332.33332.33332.33332.33332.33332.50002.50002.50002.50002.50002.50002.50002.50002.50002.50002.50002.50002.66672.66672.66672.66672.66672.66672.66672.66672.66672.66672.66672.66672.66672.66672.66672.83332.83332.83332.83332.83