一元一次方程的解法(提高)知识讲解

感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无一元一次方程的解法（提高）知识讲解撰稿：孙景艳审稿：赵炜【学习目标】1.熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解bxa．不要把分子、分母写颠倒要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为axbc的形式，再分类讨论：(1)当0c时，无解；（2）当0c时，原方程化为：0axb；（3）当0c时，原方程可化为：axbc或axbc.2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：（1）当a≠0时，bxa；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无1．解方程：(1)25332xx；(2)15.4320.6xx．【答案与解析】解：(1)25332xx．移项，合并得186x．系数化为1，得x＝48．(2)15.4x+32＝-0.6x．移项，得15.4x+0.6x＝-32．合并，得16x＝-32．系数化为1，得x＝-2．【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．(2)合并：即通过合并将方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解bxa．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正?3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．，系数化为1得710x．【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系数化为1得34x．类型二、去括号解一元一次方程2.解方程：112[(1)](1)223xxx．【答案与解析】解法1：先去小括号得：11122[]22233xxx．再去中括号得：1112224433xxx．移项，合并得：5111212x．系数化为1，得：115x．感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23xxx．去小括号，并移项合并得：51166x，解得：115x．解法3：原方程可化为：112[(1)1(1)](1)223xxx．去中括号，得1112(1)(1)(1)2243xxx．移项、合并，得51(1)122x．解得115x．【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．3．解方程：1111111102222x．【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号111111102242x．去中括号11111102842x．去大括号11111016842x．移项、合并同类项，得115168x，系数化为1，得x＝30．解法2：(层层去分母)移项，得111111112222x．两边都乘2，得1111112222x．移项，得111113222x．两边都乘2，得1111622x．感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无移项，得111722x，两边都乘2，得11142x．移项，得1152x，系数化为1，得x＝30．【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．举一反三：【变式】解方程111116412345x．【答案】解：方程两边同乘2，得1111642345x．移项、合并同类项，得111162345x．两边同乘以3，得1116645x．移项、合并同类项，得111045x．两边同乘以4，得1105x．移项，得115x，系数化为1，得x＝5．类型三、解含分母的一元一次方程【高清课堂：一元一次方程的解法388407解较复杂的一元一次方程】4．解方程：41.550.81.20.50.20.1xxx．【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．【答案与解析】解法1：将分母化为整数得：40155081210521xxx．约分，得：8x-3-25x+4＝12-10x．移项，合并得：117x．解法2：方程两边同乘以1，去分母得：8x-3-25x+4＝12-10x．移项，合并得：117x．【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如解法1；但有时直接去分母更感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无简便一些，如解法2．举一反三：【变式】解方程0.40.90.30.210.50.3yy．【答案】解：原方程可化为4932153yy．去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得2y＝3．系数化为1，得32y．类型四、解含绝对值的方程5．解方程：3|2x|-2＝0．【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x的值．【答案与解析】解：原方程可化为：223x．当x≥0时，得223x，解得：13x，当x＜0时，得223x，解得：13x，所以原方程的解是x＝13或x＝13．【总结升华】此类问题一般先把方程化为axbc的形式，再根据（axb）的正负分类讨论，注意不要漏解．举一反三：【变式】解方程|x-2|-1＝0．【答案】解：原方程可化为：|x-2|=1，当x-2≥0，即x≥2时，原方程可化为x-2＝1，解得x＝3；当x-2＜0，即x＜2时，原方程变形为-(x-2)=1，解得x＝1．所以原方程的解为x＝3或x＝1．类型五、解含字母系数的方程6.解关于x的方程：1mxnx【答案与解析】解：原方程可化为：()1mnx当0mn，即mn时，方程有唯一解为：1xmn；当0mn，即mn时，方程无解．感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式axb，再根据x系数a是否为零进行分类讨论．【高清课堂：一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】举一反三：【变式】若关于x的方程(k-4)x=6有正整数解，求自然数k的值.【答案】解：∵原方程有解，∴40k原方程的解为：64xk为正整数，∴4k应为6的正约数，即4k可为：1，2，3，6∴k为：5，6，7，10答：自然数k的值为：5，6，7，10.