2019高考数学二轮复习训练第二部分第二板块贯通4大数学思想解得稳讲义

第二板块贯通4大数学思想——解得稳思想(一)函数方程稳妥实用函数与方程思想的概念函数与方程思想的应用函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.借助“显化函数关系”，利用函数思想解决问题在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解．[例1]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．[解](1)因为a1＝2，a23＝a2(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，所以公差d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n.(2)由(1)知Sn＝n(n＋1)，则bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n＝1n＋n＋＋1n＋n＋＋…＋12nn＋＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋…＋12n－12n＋1＝1n＋1－12n＋1＝n2n2＋3n＋1＝12n＋1n＋3.令f(x)＝2x＋1x(x≥1)，则f′(x)＝2－1x2，当x≥1时，f′(x)0恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝16，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则需使k≥(bn)max＝16，所以实数k的最小值为16.[技法领悟]数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式、前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．[应用体验]1．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积取最大值时，其高的值为()A．33B.3C．26D．23解析：选D设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2＋h24＝9，即a2＝9－h24，那么正六棱柱的体积V＝6×34a2×h＝3329－h24h＝332－h34＋9h.令y＝－h34＋9h，则y′＝－3h24＋9，令y′＝0，解得h＝23.易知当h＝23时，y取最大值，即正六棱柱的体积最大．2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S130，则S1，S2，S3，…，S12中的最大项为________．解析：由a3＝12，得a1＝12－2d，所以S12＝144＋42d0.S13＝13a1＋78d＝156＋52d＜0，所以－247＜d＜－3.Sn＝na1＋nn－2d＝12dn2＋12－52dn，由d＜0，Sn是关于n的二次函数，知对称轴方程为n＝52－12d.又由－247＜d＜－3，得6＜52－12d＜132，所以当n＝6时，Sn最大．答案：S63．满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值是________．解析：可设BC＝x，则AC＝2x，根据面积公式得S△ABC＝12AB·BC·sinB＝x1－cos2B.由余弦定理得cosB＝x2＋22－2x22·2·x＝4－x24x.则S△ABC＝x1－4－x24x2＝128－x2－216.由2x＋x＞2，x＋2＞2x，解得22－2＜x＜22＋2.故当x＝23时，S△ABC取得最大值，最大值为22.答案：22转换“函数关系”，利用函数思想解决问题在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解．[例2]已知函数f(x)＝lg1＋2x＋4x·aa2－a＋1，其中a为常数，若当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，则实数a的取值范围为________．[解析]参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与变元x的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．由1＋2x＋4x·aa2－a＋1＞0，且a2－a＋1＝a－122＋34＞0，得1＋2x＋4x·a＞0，故a＞－14x＋12x.当x∈(－∞，1]时，y＝14x与y＝12x都是减函数，因此，函数y＝－14x＋12x在(－∞，1]上是增函数，所以－14x＋12xmax＝－34，所以a＞－34.故实数a的取值范围是－34，＋∞.[答案]－34，＋∞发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数y＝－14x＋12x的单调性巧妙地求出实数a的取值范围．此法也叫主元法．[技法领悟][应用体验]4．设不等式2x－1m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为________．解析：问题可以变成关于m的不等式(x2－1)m－(2x－1)0在[－2,2]上恒成立，设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则f＝x2－－x－，f－＝－x2－－x－，即2x2－2x－10，2x2＋2x－30，解得7－12x3＋12.故x的取值范围为7－12，3＋12.答案：7－12，3＋125．已知椭圆C的离心率为32，过上顶点(0,1)和左焦点的直线的倾斜角为π6，直线l过点E(－1,0)且与椭圆C交于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)△AOB的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有，请说明理由．解：(1)因为e＝ca＝32，bc＝33，b＝1，所以a＝2，故椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.(2)因为直线l过点E(－1,0)，所以可设直线l的方程为x＝my－1或y＝0(舍去)．联立x24＋y2＝1，x＝my－1，消去x并整理，得(m2＋4)y2－2my－3＝0，Δ＝(－2m)2＋12(m2＋4)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1y2，则y1＋y2＝2mm2＋4，y1y2＝－3m2＋4，所以|y2－y1|＝4m2＋3m2＋4，所以S△AOB＝12|OE||y2－y1|＝2m2＋3m2＋4＝2m2＋3＋1m2＋3.设t＝m2＋3，则g(t)＝t＋1t，t≥3，所以g′(t)＝1－1t2＞0，所以g(t)在区间[3，＋∞)上为增函数，所以g(t)≥433，所以S△AOB≤32，当且仅当m＝0时等号成立．所以△AOB的面积存在最大值，为32.构造“函数关系”，利用函数思想解决问题在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．[例3]设函数f(x)＝aexlnx＋bex－1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)＞1.[解](1)f′(x)＝aexlnx＋1x＋bex－1x－x2(x＞0)，由于直线y＝e(x－1)＋2的斜率为e，图象过点(1,2)，所以f＝2，f＝e，即b＝2，ae＝e，解得a＝1，b＝2.(2)证明：由(1)知f(x)＝exlnx＋2ex－1x(x＞0)，从而f(x)＞1等价于xlnx＞xe－x－2e.构造函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx，所以当x∈0，1e时，g′(x)＜0，当x∈1e，＋∞时，g′(x)＞0，故g(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g1e＝－1e.构造函数h(x)＝xe－x－2e，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0,1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0；故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e.综上，当x＞0时，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1.[技法领悟]对于第(2)问“aexlnx＋bex－1x＞1”的证明，若直接构造函数h(x)＝aexlnx＋bex－1x－1，求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将不等式“aexlnx＋bex－1x＞1”合理拆分为“xlnx＞xe－x－2e”，再分别对左右两边构造函数，进而达到证明原不等式的目的．[应用体验]6．已知函数y＝f(x)对于任意的x∈0，π2满足f′(x)·cosx＋f(x)sinx＝1＋lnx，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A.2fπ3fπ4B.2fπ3fπ4C.2fπ63fπ4D.3fπ3fπ6解析：选B令g(x)＝fxcosx，则g′(x)＝fxx－fx－sinxcos2x＝1＋lnxcos2x.由0xπ2，gx，解得1exπ2；由0xπ2，gx，解得0x1e.所以函数g(x)在0，1e上单调递减，在1e，π2上单调递增，因为π3π41e，所以gπ3gπ4，所以fπ3cosπ3fπ4cosπ4，即2fπ3fπ4，故选B.7．若0x1x21，则()A．ex2－ex1lnx2－lnx1B．ex2－ex1lnx2－lnx1C．x2ex1x1ex2D．x2ex1x1ex2解析：选C设f(x)＝ex－lnx(0x1)，则f′(x)＝ex－1x＝xex－1x.令f′(x)＝0，得xex－1＝0.根据函数y＝ex与y＝1x的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A、B选项不正确．设g(x)＝exx(0x1)，则g′(x)＝exx－x2.又0x1，∴g′(x)0.∴函数g(x)在(0,1)上是减函数．又0x1x21，∴g(x1)g(x2)，∴x2ex1x1ex2，故选C.构造“方程形式”，利用方程思想解决问题分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面．[例4]已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x交于不同的两点A，B，问：是否存在实数k，使以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．[解]存