交大附中二轮讲义2019届高三2轮复习专题1函数方程与不等式学生

【专题1】函数、方程与不等式【知识提要】数学高考试题注重对数学能力的考查，从数学能力的要求上体现区分度，因此对于应用数学知识解决问题的能力有一定的要求。应用数学知识解决问题的能力是指能正确理解问题背景，会分析给出的有关信息，并能进行提炼、加工，找出它们的数量关系，建立数学模型，运用数学知识，从而解决数学问题。函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，它主要包括：函数的概念、定义域和值域；函数的性质，比如奇偶性、单调性、最值、周期性、零点等；反函数的概念；函数的图像；幂函数、指数函数和对数函数；三角函数和反三角函数。函数的思想方法贯穿于高中数学，与函数知识点相联系的基本方法有：利用常用函数、利用函数的定义和性质、利用图像解决函数与方程问题。1.用函数的观点将函数、方程、不等式统一起来，将问题转化为研究函数的某些性质。2.从函数、方程、不等式的相关原理出发，把问题化归为更熟悉的基本问题。3.通性通法：变量代换，变量分离，分类讨论，数形结合。【例题分析】1、方程问题例1当a取何值时，关于x的方程220xax在(0,1]上有解.例2已知关于x的对数方程lg2lg(1)axx.当a在什么范围内取值时，这个方程有解？例3已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+1𝑥|−|𝑥−1𝑥|，关于x的方程𝑓2(𝑥)+𝑎𝑓(𝑥)+𝑏=0(𝑎,𝑏∈𝑅)恰有6个不同的实数解，画出函数)(xf的图像，并求实数a的取值范围．例4已知函数)(xfy，若在定义域内存在0x，使得)()(00xfxf成立，则称0x为函数)(xf的局部对称点.（1）若a、bR且0a，证明：函数abxaxxf2)(必有局部对称点；（2）若函数cxfx2)(在区间]2,1[内有局部对称点，求实数c的取值范围；（3）若函数324)(21mmxfxx在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.2、函数问题例5.1是否存在实数a，使得()()gxfxxx在R上是奇函数或是偶函数？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．例5.2已知函数241)(xxf，若函数1()4yfxm为奇函数，则实数m为例5.3已知函数f(x)=，x∈，则满足03fxf的0x的取值范围为．例5.4设函数()1()fxxQ的定义域为[,][,]baab，其中0ab，若函数()fx在区间[,]ab上的最大值为5，最小值为2，则()fx在区间[,]ba上的最大值与最小值的和为_____2cosxxππ[]22，例5.5设函数()122014122014fxxxxxxx，下列四个命题中真命题的序号是.(1)()fx是偶函数；(2)不等式()20132014fx的解集为；(3)()fx在0,上是增函数；(4)方程2(56)(2)faafa有无数个实根.例6已知xR，函数2()(2)sincos1fxaxaxa的最大值为1，求实数a的取值范围.例7已知函数3()log3mxfxx（1）若()fx的定义域为[,](0)，判断()fx在定义域上的增减性，并加以证明；（2）当01m时，使()fx的值域为log[(1)],log[(1)]mmmm的定义域区间[,](0)是否存在？请说明理由.例8已知4242+1()+1xkxfxxx（xR，k为实常数）（1）求()fx的最值；（2）任取三个实数a，b，c，边长为()fa，()fb，()fc的线段构成一个三角形，求k的取值范围.分析：这个函数不太熟悉，转化为熟悉问题3、不等式问题例9已知关于x的不等式06241kkxx对一切)3log,1(2x都成立，求实数k的取值范围.例10定义在D上的函数()fx,如果满足:对任意xD,存在常数0M,都有|()|fxM成立,则称fx是D上的有界函数,其中M称为函数fx的上界.已知函数11124xxfxa.(1)当1a时,求函数fx在,0上的值域,并判断函数fx在,0上是否为有界函数,请说明理由；(2)若函数fx在0,上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.例11已知函数211)(xxxf（1x）．（1）求)(xf的反函数)(1xf，并写出)(1xf的定义域D；（2）若不等式xxmmxf1)()(1对于任意Dx恒成立，求实数m的取值范围．【巩固练习】1、三个同学对问题“关于x的不等式2x＋25＋|3x－52x|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是.2、关于x的方程2sincos20xaxa有解，则a的取值范围是.3、关于x的二次方程01)1(2xmx在区间]2,0[上有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为.4、设6212fxxx是展开式的中间项，若fxmx在区间2,22上恒成立，则实数m的取值范围是.5、已知fx是定义在2,2上的函数，且对任意实数1212,xxxx，恒有12120fxfxxx，且fx的最大值为1，则不等式2log1fx的解集为.6、已知函数2212)(xaxxxf，若对任意),1[x，0)(xf恒成立，则实数a的取值范围是.7、设函数xxxxfarcsin1ln)(2,则使得成立的的取值范围是.8、（16新课标）已知函数()()fxxR满足()2()fxfx，若函数1xyx与()yfx图像的交点为1122(,),(,),,(,),mmxyxyxy则1()miiixy.()(21)fxfxx9、已知集合M是满足下列两个条件的函数)(xf的全体：①)(xf在定义域上是单调函数；②在)(xf的定义域内存在闭区间],[ba，使)(xf在],[ba上的值域为2,2ba。若函数mxxg1)(，Mxg)(，则实数m的取值范围是.10、（15年江苏）已知函数|ln|)(xxf，1,2|4|10,0)(2xxxxg，则方程1|)()(|xgxf实根的个数为.11、若关于x的不等式24(1)4kxk的解集为M，则对任意实常数k，总有（）（A）2,0MM（B）2,0MM（C）2,0MM（D）2,0MM12、设定义域为R的函数1,01||,1|lg|)(xxxxf，则关于x的方程0)()(2cxbfxf有7个不同实数解的充要条件是（）（A）0b且0c（B）0b且0c（C）0b且0c（D）0b且0c13、（15年北京理科）如图，函数fx的图象为折线，则不等式的解集是（）A．B．C．D．14、(2015·山东，10)设函数1,21,13)(xxxxfx，则满足)(2))((afaff的a取值范围是()A.23，1B．[0，1]C.23，＋∞D．[1,＋∞)ACB2log1fxx≥|10xx≤|11xx≤≤|11xx≤|12xx≤ABOxy-122C15、(2015·天津，8)已知函数f(x)＝2－|x|，x≤2，（x－2）2，x＞2，函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A.74，＋∞B.－∞，74C.0，74D.74，216、已知函数)(xf=21log1xx.求)(xf的反函数)(1xf，并求使得函数12()()loggxfxk有零点的实数k的取值范围.17、已知函数3()log3mxfxx（1）若()fx的定义域为[,](0)，判断()fx在定义域上的增减性，并加以证明；（2）当01m时，使()fx的值域为log[(1)],log[(1)]mmmm的定义域区间[,](0)是否存在？请说明理由.18、(2016高考上海理数)已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.aR21()log()fxax5a()0fxx2()log[(4)25]0fxaxaa0a1[,1]2t()fx[,1]tta