交大附中二轮讲义2019届高三2轮复习核心板块32解析几何之圆锥曲线中的定值最值问题学生

【核心板块3.2】解析几何之圆锥曲线中的定值最值问题【知识提要】在解析几何中，圆锥曲线看成是点的轨迹，在运动变化中有相对静态的特征，比如定点、定长等定值、最大、小值问题，往往体现了某个几何性质。建立了直角坐标系后，用代数（函数、方程）为工具来研究几何问题是解析几何的“灵魂”，所以多掌握一些性质，以及过硬的代数运算是学好解析几何的重要学习方法。【例题分析】例1.1在直角坐标系中，圆C：221xy上有一动点P，问在x轴上是否存在唯一一对不重合的定点AB、,使得||2||APBP恒成立?（提高班可以将条件：222(0)xyrr，||||0,1APBP（）））例1.2已知圆1)2(:22yxO，),(yxP为圆O上任一点．①求12xys的最大、最小值，②求yxt2的最大、最小值．（主讲方法为三角代换法：将两元问题转为一元问题）3、如图，圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴正半轴交于两点M，N（点M在点N的左侧），且|MN|=3.（1）求圆C的方程；（2）过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于点A，B，连接AN，BN.求证：∠ANM=∠BNM.例2.1求证：双曲线12222byax上的点到两条渐近线的距离乘积是定值，并求出该定值H例2.2求证：过双曲线12222byax上的点做渐近线的平行线，围成平行四边形，其面积是定值，并求出该定值G例2.3在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线122yx右支上的一个动点。若点P到直线01yx的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为[来源:学#科#网Z#X#X#K]例3.1在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线xy22相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么3OBOA”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由例3.2如图，倾斜角为的直线经过抛物线xy82的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明:cos2FPFP为定值，并求此定值.例3.3抛物线22(0)ypxp的焦点为F，动弦AB的中点为点C，点C在准线上的投影为点D，60AFB，则||||CDAB的最大值是_________例4.1如图，给定椭圆E，弦AB、CD均过原点，2222(,)(,)2222AabCab、，点P为E上任意一点，点P到两弦的距离分别是12dd、，求证：2212+dd为定值例4.2设M是椭圆2244xy上的动点，(,0)At是椭圆长轴上的一点，MA的最小值为d，试求函数()dft的表达式.例4.3已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OBOA与)1,3(a共线奎屯王新敞新疆设M为椭圆上任意一点，且),(ROBOAOM，证明22为定值奎屯王新敞新疆例4.4P、Q、M、N四点都在椭圆2212yx上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且0PFMF．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．例4.5已知椭圆2214xy，2,0A，0,1B，0,0O，设P为椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：ANBM为定值.例4.6椭圆22143xy内有一点(1,1)A，右焦点记作F，又已知该椭圆上的动点P，分别求||||PAPF和|||-|||PAPF的最大值和最小值【巩固练习】1、已知A（1，2），B（3，4），直线1:0lx，2:0ly和3:310lxy。设Pi（i=1,2,3）是上与点A、B两点距离平方和最小的点，则123PPP的面积是_____________2、在平面直角坐标系xOy中,设定点),(aaA,P是函数xy1(0x)图象上一动点,若点AP，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a的所有值为_______.3、已知抛物线2:4Fxy，ABC的三个顶点在抛物线F上，记ABC的三边,,ABBCCA所在直线的斜率分别为,,ABBCCAkkk，若点A为坐标原点，ABBCCAkkk=________________4、若双曲线方程为12222byax，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为kkABOM、，则__________OMABkk5、设P是函数2yxx（0x）的图像上任意一点，过点P分别向直线yx和y轴作垂线，垂足分别为,AB，则PAPB的值是．6、抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有()A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝07、过抛物线m：2yax（a＞0）的焦点F作直线l交抛物线于,PQ两点，若线段PF与FQ的长分别为,pq，则11pq的值必等于（）A．2aB．12aC．4aD．4a8、椭圆12222byax)0(ba上两点BA、,OBOA,则2211OBOA的值为（）A.221abB.221abC.2222ababD.2222+abab9、已知倾斜角为45的直线l过点)2,1(A和点B，B在第一象限，23||AB.对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称||PQ的最小值为P与线段AB的距离.已知点P在x轴上运动，写出点)0,(tP到线段AB的距离h关于t的函数关系式.10、平面上有两点A（-1，0），B（1，0），P为圆xyxy2268210上的一点，试求SAPBP||||22的最大值与最小值，并求相应的P点坐标。11、在平面直角坐标系xoy中，已知圆221:(3)(1)4Cxy和圆222:(4)(5)4Cxy.设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。12、（2015年14题改编）、在锐角三角形ABC中，1tan2A，D为边BC上的点，ABD与ACD的面积分别为2和4，过D作DEAB于E，DFAC于F，（1）求点D的轨迹方程（2）求证DEDF为定值。13、过抛物线22ypx的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：AB过一定点.14、过抛物线22ypx（p＞0）上一定点000(,)(Pxyy＞0），作两条直线分别交抛物线于11(,)Axy，22(,)Bxy，求证：PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB的斜率为非零常数．15、已知动圆过定点,02p，且与直线2px相切，其中0p.（1）求动圆圆心C的轨迹的方程；（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当,变化且4时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标奎屯王新敞新疆16、点A、B分别是椭圆1203622yx长轴的左、右端点，点P35(,3)22在椭圆上，设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于||MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。17、判断“在平面直角坐标系xoy中，到两相交直线22220xyab的距离乘积是定值2222abab的点的轨迹方程是12222byax”是真命题还是假命题，并说明理由18、已知椭圆C:22142xy,过动点0,0Mmm的直线交x轴于点N，交C于点,AP(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.（i）设直线PM，QM的斜率分别为k，'k，证明'kk为定值.（ii）求直线AB的斜率的最小值.xyMNBPQAO19、已知椭圆E：221.4xy设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MAMBMCMD20、过原点且斜率为正值的直线交椭圆2214xy，于EF、两点，设(20)(01)AB，、，，求四边形AEBF面积的最大值*21、双曲线22-143xy，(1,1)A，右焦点记作F，又已知该椭圆上的动点P，分别求||||PAPF和||-||PAPF的取值范围*22、椭圆2244xy的内接平行四边形的面积何时最大？