连续时间信号分析

《测试信号分析与处理》课程第二章连续时间信号分析第一节周期信号分析第二节非周期信号的频域分析第三节周期信号的傅里叶变换第四节采样信号分析第一节周期信号分析信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信号的研究往往是在一个周期内进行。第一节周期信号分析如矢量的分解，一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在各基函数中的分量；一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则是正交函数集。从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在定义域里用某个正交函数集来表示。若此函数集不仅是正交而且完备，则用他来表示信号时将没有误差。第一节周期信号分析两个函数是否正交，必须指明在什么区间内三角函数集和指数函数集是应用最广的完备正交集。第一节周期信号分析一、三角函数形式的傅里叶级数用完备正交函数集对周期信号分解，即可得到周期信号的傅里叶展开式。进行傅立叶展开的周期函数f(t)必须满足狄里赫利（Dirichlet）条件，即在周期内，函数f(t)1）若有间断点存在，则间断点数目必须有限；2）极大值和极小值数目应该是有限个；3）应是绝对可积的，即在工程实践中所遇到的周期信号一般都满足狄里赫利条件。},,3,2,1sincos1{11ntntn，，，111Ttt，dttfTtt111)((t)的三角级数形式的傅立叶展开式其中，0112111210111()coscos2sinsin2(cossin)nnnftaatatbtbtaantbnt1111111110111111()2()cos(1,2,3,,)2()sintTttTnttTntaftdtTaftntdtnTbftntdtT111Tttt将同频率项合为一项，即第一节周期信号分析)cos(sincos111nnnntnctnbtna于是110)cos()(nnntncctf111Tttt0022cossinarctan(/)nnnnnnnnnnnnaccabacbcba,3,2,1n第一节周期信号分析二、指数函数形式的傅里叶级数在内可以用指数函数集来表示周期信号f(t)。式中111Ttt，11111()()jntnftFnetttT1111111()()tTjnttFnftedtT)(tT1T102T0T0T02T020002OOt等间隔冲激序列的傅里叶级数第一节周期信号分析例周期对称方波如图所示。它在一个周期内的表达式为111,/4(),/4/2EtTftETtT02E1TEt1T1T21T()ft第一节周期信号分析周期对称方波的频谱图151171510171513117151310n171317130EE1313nFnF17a)b)c)N3N5N)(txt210%9~12吉布斯现象(Gibbs)第一节周期信号分析三、周期信号的功率谱信号能量能量有限信号：平均功率：功率有限信号：信号f(t)在时间（-∞,+∞）上的平均功率2()Eftdt/22/21lim()TTTPftdtT2()ftdt212211()TTPftdtTT第一节周期信号分析周期信号f(t)的平均功率与傅里叶系数有右示关系这是周期信号的帕斯瓦尔（Parseval）公式。它说明周期信号的平均功率等于直流、基波和各次谐波分量有效值的平方和。与的关系图，称为周期信号的功率谱,表示信号各次谐波分量的功率分布规律。1112122201220121()1()212tTtnnnnnnnPftdtTaabccF2nc1n第一节周期信号分析四、周期信号频谱的基本性质线性：如果一个周期信号可以分解为几个简单信号的线性叠加，则原周期信号的频谱为几个简单信号频谱的线性叠加。延时性：一周期信号，若波形不变，仅延迟了时间，那么，频谱中各次谐波分量的幅度不变，仅相位平移了一个值。这个相移值与延迟时间和谐波次数n成正比。频移特性：乘以后频谱分量的振幅和相位保持不变，但频率都增加了。也就是频谱图在频率轴上平行移动了距离()fttje000第一节周期信号分析例周期矩形脉冲信号，如图所示。他在区间内的数学表达式为1,/2()0,/2/2EtfttT11[/2,/2]TT)(tf1T1T02/2/102/2/)/(RetctEtt第二节非周期信号的频域分析一、非周期信号的傅里叶变换对于周期为的周期信号，可以利用傅里叶级数对他进行频域分析，得到它的离散频谱。对于非周期信号却不能直接利用傅里叶级数来对它进行频域分析，但是，可以将非周期信号看作是周期为无穷大的信号。若仍用傅立叶级数表示，则式中1T1()jntnnftFe1111lim()jntnTFftedtT1112limTT第二节非周期信号的频域分析由于信号周期趋于无穷，前述各式有如下变化1）趋于零，谱线也将由离散频谱变为连续频谱。其离散增量将变为连续增量，即2）谱线长度趋于零，与相乘，可表示为1d11112limTdT112limTnTnF1T111111/2/2()limlim()()nTTjntTTjtFTFftedtftedt第二节非周期信号的频域分析因为即它具有单位频率的振幅的量纲，因此称原函数的频谱密度函数，简称频谱函数。11101()limlim22nTnnFTFFFd()F()ft第二节非周期信号的频域分析非周期信号的傅立叶积分表达式，它与周期信号的傅立叶级数表达式相当。1110()()lim()21()2jntnnjntnjtftFeFdeFed()ft第二节非周期信号的频域分析频谱函数原函数111111/2/2()limlim()()nTTjntTTjtFTFftedtftedt1110()()lim()21()2jntnnjntnjtftFeFdeFed第二节非周期信号的频域分析傅立叶正变换傅立叶反变换(){()}()jtFftftedtF1(){()}()2jtftFFed-1F第二节非周期信号的频域分析非周期信号进行傅里叶变换也与周期信号展成傅里叶级数一样，需要满足狄里赫利条件，即它表示信号在全部时间内具有有限能量。在一般情况下所遇到的实际信号总是能满足狄里赫利条件的。()ftdt(,)第二节非周期信号的频域分析三、傅里叶变换的性质（一）线性特性若则若干信号加权和的频谱等于各个信号频谱之加权和，在时域中的线性叠加对应着频域中的线性叠加。{()}()1,2,3,,niiiiaftaFiF11{()}()nniiiiiiaftaFF第二节非周期信号的频域分析（二）对称特性若有若的频谱为。那么，形状为的信号波形，其频谱形状同{()}()ftFF{()}2()FtfF()ft()F()Ft()f第二节非周期信号的频域分析（三）延时特性若有信号在时域中延迟时间，该信号各频谱分量的幅值大小不变，但各频谱分量的相位却附加了一个与频率分量成线性关系的相移。这就说明，信号在时域中的延时和在频域中的移相相对应。{()}()ftFF00()()jtftteF0t0t第二节非周期信号的频域分析（四）频移特性若有（五）时间尺度变化若有{()}()ftFF00()()jtfteF1010101{()cos}=[()()]2fttFFF{()}()ftFF)a(Fa1)at(f第二节非周期信号的频域分析（六）奇偶虚实性当为实函数时（七）微分特性若则-()()()cos()sin()()jtemFftedtfttdtjfttdtRjI()()()()eemmRRII()ft{()}()ftFF(){}(j)()nnndftFdtF第二节非周期信号的频域分析（八）积分特性若，且满足在处是有界的，或满足，则否则（九）时域卷积定理{()}()ftFF()/F(0)0F01{()}()tfdFjF1{()}(0)()()tfdFFjF1212{()()}()()ftftFFF第二节非周期信号的频域分析（十）频域卷积定理（十一）相关定理12121{()()}()()2ftftFFF1212{()()}()()ftfdFFF第二节非周期信号的频域分析四、典型非周期函数的傅里叶变换单位冲激函数的傅里叶变换单边指数函数的傅里叶变换式中，0{()}()()1jtjttedttedtF0,0(),0attftet02222(){()}1()atjtjfteedtajajaaFeF221()()arctan()Faa第二节非周期信号的频域分析单位阶跃函数的傅里叶变换由于时，u(t)不符合绝对可积条件，即不存在，不能直接进行傅里叶变换。为了解决这问题，可以由单边指数函数的极限状态来逼近函数u(t)。t()utdt0lim1,0()0,0ataetutt{()}lim[]1()1()ajautjaajeFF0ttu01第二节非周期信号的频域分析复指数函数的傅里叶变换该函数不符合绝对可积条件，可借助于冲激函数的傅里叶变换对。0()jtfte0()002()2()jtedt1(){1}2jtted-1F2()jtedt{}2()jteF00