第七章随机过程习题课

第七章随机过程习题课(1)对于给定的w,X(w0,t)是一个关于t的函数,称为样本函数。(2)当t固定时,X(t0)是一个随机变量,称它为X(t0)在t0时刻的状态。1.随机过程定义2.随机过程的概率分布称为随机过程的一维分布函数。(;)(()),FtxPXtx(;)(;)xFtxftsds12121122(,;,)((),()),FttxxPXtxXtx称函数f(t;x)为随机过程X(t)的一维密度函数.121212121212(,;,)(,;,),xxFttxxfttssdsds称为随机过程的二维分布函数.称f(t1,t2;x1,x2)为随机过程的二维密度函数.3.随机过程的数字特征:2()()()XXXDttmt)()(),(),(212121tmtmttRttCXXXX均值函数、方差函数、均方值函数、相关函数、协方差函数2()[()()]XXDtEXtmt)()]([2ttXEX)]()()][()([),(221121tmtXtmtXEttCXXX1212[()()]()()XXEXtXtmtmt)]()([),(2121tXtXEttRX1122{()|(),(),,()}{()|()}{(),0,1,2,}mmmmmmPXnkjXniXniXniPXnkjXniXnn马则称为尔可夫链.定义1：2{()|()},1(,).ijkPXmkjXmkmmpmki定义：称为马尔可夫链在时刻的记为步转移概率讨论齐次（时齐）马尔可夫链。(,)().ijijpmmkpk记为1(1).ijijkpp一当时，称为，简率记为步转移概C-K()()()(),,1,2,ijijirrjrIpnpklpkplij方程()[(1)]kkk一般地，有PPP1,(0)0,ijijpij通常规定(0){(0)},1,2,ipPXii马尔可夫链在初始时刻（即零时刻）取各状态初的概率始（概分布称为它的率）分布。()(0){()},1,2,mimmpPXmiim马尔可夫链在第时刻取各状态的概率分布称时刻的为它的概率分布。()(0)()mjiijipppm即11211122(0)1211{(),(),,()}()()()rrrriiiiiiirriPXniXniXnippnpnnpnn马尔可夫链的有限维分布表明有限维分布完全由初始概率分布和转移概率所确定。下面给出有限状态的马尔可夫链是否具有遍历性的一个判定定理。001{(),0,1,2,}={1,2,,}(),=12),()0,,lim().{,1,2,,},1,2,,0(1,2,,ijijjijjjkNjiijjiXnnINkpkijIkkpkijIpkjNpjNj定理马尔可夫链具有有限状态，步转移概率，(、，，如果存在正数，有、，则此链是遍历性的，即存在使得且极限分布是方程组=满足条件1),1NjjN的唯一解。,,,;(,),,XXXXttTttTEXtRttRtXttT定义2：给定二阶矩过程，如果对任意的常数宽与无关平稳过程、广义则称为平稳过程T1利用抛一枚硬币的试验定义一随机过程2(),teHXtttT出现正面出现反面假设P(H)=P(T)=1/2,试确定X(t)的一维分布函数1F(x;1),F(x,2)以及12(,;1,2)Fxx解:(1),1eHXT2(2),4eHXT于是,X(1/2)、X(1)的概率分布分别为(1)XkP1e2121(2)XkP421212e0111(,)1221xFxxexe22041(1,)421xFxxexeX(1)与X(2)的联合概率分布为：(1)X(2)X1e2100211212122212120141,411(,1;,)224,1,xorxxexFxxorxexexexe求二维分布。21214XXee随机矢量，的可能取值为（，），（，）2(),teHXtttT出现正面出现反面42eP239T2P239T5P239T1612345(2)((2),(2),(2),(2),(2))Pppppp解：{(),0,1,2,}=123450.80.200000.50.40.10000.40.50.10000.20.800001XnnIT18设马尔可夫链的状态空间，，，，，已知一步转移概率矩阵，已知初始时刻该链的状态是1，求2时刻该链处于各个状态的概率。0.80.20000.80.200000.50.40.1000.50.40.10=000.40.50.1000.40.50.10000.20.80000.20.800001000010.640.260.080.020=2二步转移概率矩阵，P(0.64,0.26,0.08,0.02,0)0.640.260.080.020(1,0,0,0,0)123在直线上带有完全反射壁的随机游动质点只能处在实数轴上、、三个点，判别是否有遍历性，若有求极限分布。0100010qp一步转移概率矩阵为P=20(2)0100qpqp二步转移概率矩阵PP010(3)(2)0010qp三步转移概率矩阵为PPPP(21)n一般地，PP0(2)0100qpnnqp其中是自然数。Plim()ijkpk显然转移概率的极限是不存在的，因而不具有遍历性。P242T20=12312033522.99921033IT22设马尔可夫链的状态空间，，，它的一步转移概率矩阵为，证明此链具有遍历性，并求极限分布。P=lim(),1,2,3ijjnpnj所以此链具有遍历性，因而有解：一步转移概率矩阵为1203352299921033P=计算二步转移概率矩阵21212003333552222(2)99999921210033337164272727164916=8181811674272727PP12112322331239522+3932193方程组：123311555，，311jj1203352299921033P=13pqr直线上带完全反射壁允许停留的随机游动设,判别是否有遍历性，若有求极限分布。0100011100333111003331110033300010此时一步转移概率矩阵为P=(2)(3),510811272727927103321141818181812782382121(4)81818181813310114212781818181810511279272727逐个计算，PPPlim(),1,2,3,4,5.ijjnpnpij它的所以元素都大于零。所以此链具有遍历性。，P239T23,1,2,3,4,5jpj下面求。2112322343345445131133111333113313pppppppppppppppp方程组：123451ppppp加上条件1523431,1111ppppp解得0,StTTXtStT26设是一周期为的函数，是在上服从均匀分布的随机变量，称为随机相位周期过程，试讨论它的平稳性。100TTf解：由假设，的概率密度为:其他,XRttEStSt01TStdT1tTtSdT01TSdT周期性＝＝＝常数所以随机相位周期过程是平稳的。,EXtESt于是1tTtSSdT01TStStdT01TXSSdRT周期性记为＝＝＝＝＝