电磁场的数值计算方法

电磁场的数值计算方法物理系0702班学生杜星星指导老师任丽英摘要：数值计算方法是一种研究并解决数学问题数值近似解的方法，广泛运用于电气、军事、经济、生态、医疗、天文、地质等众多领域。本文综述了电磁场数值计算方法的发展历史、分类，详细介绍了三种典型的数值计算方法—有限差分法、有限元法、矩量法,对每种方法的解题思路、原理、步骤、特点、应用进行了详细阐述,并就不同方法的区别进行了深入分析,最后对电磁场数值计算方法的应用前景作了初步探讨。关键词：电磁场；数值计算；有限差分法；有限元法；矩量法引言自从1864年Maxwell建立了统一的电磁场理论，并得出著名的Maxwell方程以来，经典的数学分析方法是一百多年来电磁学学科发展中一个极为重要的手段,围绕电磁分布边值问题的求解国内外专家学者做了大量的工作。在数值计算方法之前,电磁分布的边值问题的研究方法主要是解析法，但其推导过程相当繁琐和困难,缺乏通用性,可求解的问题非常有限。上个世纪六十年代以来,伴随着电子计算机技术的飞速发展,多种电磁场数值计算方法不断涌现,并得到广泛地应用,相对于解析法而言,数值计算方法受边界形状的约束大为减少,可以解决各种类型的复杂问题。但各种数值计算方法都有一定的局限性,一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，因此如何充分发挥各种方法的优势,取长补短,将多种方法结合起来解决实际问题,即混合法的研究和应用已日益受到人们的关注。本文综述电磁场的数值计算方法，对三种常用的电磁场数值计算方法进行分类和比较。1电磁场数值计算方法的发展历史在上世纪四十年代，就有人试探用数值计算的方法来求解具有简单边界的电磁场问题，如采用Ritz法[1]，以多项式在整个求解场域范围内整体逼近二阶偏微分方程在求解域中的解。五十年代，采用差分方程近似二阶偏微分方程，诞生了有限差分数值计算方法，开始是人工计算，后来采用机械式的手摇计算机计算，使简单、直观的有限差分法得到应用和发展，该方法曾在欧、美风行一时。1964年美国加州大学学者Winslow以矢量位为求解变量，用有限差分法在计算机上成功地解算了二维非线性磁场[1]，此后有限差分法在工程电磁场计算领域大为发展。1965年，Winslow首先将有限元法从力学界引入电气工程中，1969年加拿大MeGill大学P.P.Silvester运用有限元法成功地进行了波导的计算[2]；七十年代初，P.P.Silvester和M.V.K.Chari合作将有限元法应用于二维非线性磁场的计算，成功地计算了直流电机、同步电机的恒定磁场。此后有关有限元法探讨的论文越来越多，有限元法运用的范围由静态场到涡流场到辐射场，由线性场到非线性场，由各向同性媒质到各向异性、要考虑磁滞损耗，由工程电磁场到生物电磁场等等。有人认为有限元法是求解工程电磁场的最有效最成功的方法。有限元法和有限差分法都是求解边值问题的方法，属于微分方程法。对于开区域或要求求解连续分布场量的区域，这类方法就会受到自身的限制。1972年英国卢瑟福实验室的C.W.Trowbridge等人提出了积分方程法的思想，给出了二维、三维场问题的离散形式[2]，由于此种方法只需离散源区，不需考虑边界条件，所以它较好地解决了无界开域场和要求连续计算场量的问题。该方法计算精度高，但计算量很大。该实验室Sinkin等人又在积分方程法基础上提出了边界积分方程法(又称边界元法)，用此解决线性场的计算，计算量大为减小。此后该室的学者们将积分方程与微分方程法结合起来，提出了求解三维静磁场的双标量位法等。在解决天线辐射场、散射场问题中，矩量法是一个很重要的数值计算方法。1968年R.F.Harrington发表了专著“FieldcomputationbyMomentMethod”，对散射场、天线辐射场、波导场等方面的问题起了很好的推进作用。除以上所介绍的方法外，随着电磁场数值分析的不断发展，各种新方法不断涌现，如计算电场的模拟电荷法，最小二乘配点法，求解磁场的模拟电流法，以及计算场的图论模型法，快速Fourier变换法、有限体元法、无网格计算法等等。各种方法互相配合，出现了一些混合方法，如：矩量法—模拟电荷法、模拟电荷法—有限元法、有限元法—边界元法等，有效地解决了一些实际问题。近年来人工神经网络，小波理论[3]等也引入了电磁场的数值计算中，瞬态电磁场计算如时域有限差分法的应用有了长足的发展。总之随着现有的电磁场数值计算方法的不断深入发展、提高和完善，新的方法不断产生。在电磁场的数值解法不断发展的同时，人们并没有忘记长期以来所运用的解析方法。解析法计算结果精确，且可以用解析式表达计算结果，受这些特点吸引，解析法与数值计算方法相结合形成的半解析法应运而生，也成为了一种主流解算方法，并还在不断发展。电磁场数值计算方法发展走向成熟的一个重要标志是：成熟的方法越来越多地应用于工程实际问题中，商业化通用软件包不断出现[4]。一个商业化软件包通常由下面几部分组成：网格图形显示生、节点形成空调剖分、网格自动产模拟化：数、边界条件几何尺寸、材料性能参数据定义：前处理非线性叠代求解代数方程组成离散方程组系数矩阵形数据处理算与显示局部场域分布的精细计显示受力和损耗计算与图形质区含线性媒质和非线性媒场图显示按要求输出计算结果后处理)(以上三部分中前、后处理占用了软件包语句的90%以上，编程的主要工作量在此，而数据处理，也就是我们目前正在学习的数值计算方法仅占软件语句的10%以内，但它却是占用计算机内存量和消耗CPU时间的主要部分。2电磁场数值计算方法的分类求解电磁问题的最终要求就是获得满足实际条件的Maxwell方程的解，借助于计算数学中的数值算法能够得到大多数电磁问题的近似解。数值算法的基本思想[5]就是把连续变量函数离散化，把微分方程化为差分方程；把积分方程化为有限和的形式，从而建立起收敛的代数方程组，然后利用计算机技术进行求解。数值计算方法从求解方程的形式看，主要分为积分方程法和微分方程法两大类。积分方程法主要有矩量法和边界元法，微分方程法主要有有限差分法和有限元法。对两种方程法的比较，如表一所示。表一积分方程法和微分方程法的比较积分方程法微分方程法共性对场问题的处理是一致的，即需离散化场域，结果是数值解不同点离散域仅在场源区，无需对整个场域离散整个场域计算对象场量先求位函数，再求场量求解域可在场域内某一局部区域求解，也可在全场域内求解全场域内求解计算程度较高较低应用不适用边界区域复杂的场域边界形状复杂的场域较易处理联系两种方法的结合形式，可处理较复杂的电磁场问题3几种重要的数值计算方法3.1有限差分法在电磁场数值计算方法中，有限差分法是应用最早的一种方法。有限差分法以其概念清晰，方法简单、直观，有大致固定的处理和计算模式，具有一定的通用性等特点，在电磁场数值分析领域内得到了广泛的应用。3.1.1有限差分法的基本原理有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。3.1.2差分与差商设函数)(xf的自变量x有一小增量hx，则)(xf的增量为)()()(xfhxfxf（3.1）)(xf为函数)(xf的一阶差分。当增量h足够小，差分f与微分df之间的差才足够小。一阶差分f是自变量x的函数。按式（1）,计算)(xf的差分)(2xf称二阶差分，且)()()(2xfhxfxf（3.2）函数)(xf的一阶导数)('xf为xxfdxdfxfxlim0应用差分，)('xf可表示为'()()()()fxfxhfxfxxh（3.3）故)('xf可表示为差分)(xf除以有限小差分x的商，称为差商。同理，函数)(xf的二阶导数)(''xf可表示为2221()1()()()()()2()()xxxdfdfdfdxxdxdxfxhfxfxfxhhhhfxhfxfxhh（3.4）3.1.3差分方程的构造现以二维静态电、磁场泊松方程的第一类边值问题为例，来具体阐明有限差分法的应用。设具有平行平面场特征的电磁场场域D,如图1所示,为一由闭合边界L所界定的平面域，其定解条件可表述为yxFyuxuyxu,,22222Dyx,（3.5）yxfyxuL,,（3.6）对于所给定的偏微分方程定解问题，应用有限差分法，首先需从网格剖分着手决定离散点的分布方式。原则上，可以采用任意的网格剖分方式，但这将直接影响所得差分方程的具体内容，进而影响解题的经济性与计算精度。为简化问题，通常采用完全有规律的分布方式，这样在每个离散点上就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速度，因而经常采用正方形的网格的剖分方式。现即以这种正方形网格剖分场域D，也就是说，用分别与yx,两坐标轴平行的两簇等距网格线来生成正方形网格，即ihxxi..)..........2,1,0(ijhyyj..)..........2,1,0(jh为步长，网格线的交点jiyxO,称为节点，这样D域就离散化为由网格节点标成的离散点得集合。对场域D中节点jiyxO,是一典型节点，它与周围的1，2，3和4点构成一个对称星型。设这些离散点上待求函数的近似值记为),(0jiuu，),1(1jiuu，)1,(2jiuu，),1(3jiuu，)1,(4jiuu则式（6）可近似离散化为Fjiujiujiuhjiujiujiuh)1,(),(2)1,(1),1(),(2),1(122（3.7）即Fhjiujiujiujiujiu2),(4)1,(),1()1,(),1(（3.8）若式（6）F=0,则节点O上函数u的值等于其四周相邻点函数值的平均。因为差分方程（7），（8）只出现待求函数u在点jiyxO,及其四个临近点的值，故称之为五点差分格式[6]，根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值。3.2有限元法xL03MDyhh124图1正方形网格划分1ix1ix1jyjy1jy传统的变分法在20世纪二三十年代为其新型时期，理论上发展很快，各种变分问题的最后求解都可归结为解尤拉方程的边值问题，然而只有在一些特殊情况下尤拉方程才能求出精确解，在大多数情况下，尤拉方程的精确解无法求出。四五十年代，随着计算机的出现，使其在实际应用中逐渐为比较灵活、通用的有限差分法所替代。但是，有限差分法在理论上没有以变分原理为基础，因而其收敛性和数值稳定性往往得不到保证。随后发展形成的有限元法正是变分法与有限差分法相结合的成果，它取长补短地在理论上以变分原理为基础，在具体方法构造上又利用了有限差分法网格离散化处理的思想[7]。3.2.1有限元法的基本原理有限元法是以变分原理为基础，将要求解的微分方程型数学模型—边值问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后，利用剖分插值将变分问题离散化为普通多元函数的极值问题，最终归结为一组多元的代数方程组，求解该方程组，从而获得边值问题的数值解。3.2.2泛函、变分问题简介在微积分学形成初期，以数学物理问题为背景，与多元函数的极值问题相对应，已在几何、力学上提出了若干个求解泛函极值的问题。如图2中的质点最速降线问题所述，质点A从定点),(11yx自由下滑到定点B),(22yx，试求使滑行时间最短的质点下滑轨道)(xyy。图示滑行弧段sd所需时间为gyxygyxvst2d12dsecdd2滑行总时间为xgyytxyTxyJxxTd21d)]([)]([