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函数及其表示1.函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A,B是两个非空______设A,B是两个非空______对应关系f:A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的______一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的______一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应数集集合任意任意函数映射名称称_________为从集合A到集合B的一个函数称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(x)(x∈A)对应f:A→B是一个映射f:A→B温馨提醒:(1)函数是特殊的映射,其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集,即函数是非空数集A到非空数集B的映射.(2)映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A、B若不是数集,则这个映射便不是函数.2.函数的有关概念(1)函数定义中,集合A、B分别是定义域、值域吗?提示:由定义可知,集合A是定义域,而值域是集合B的子集(2)函数三要素是什么?提示:定义域、值域、对应关系(3)函数的三种常用表示法是什么?提示:解析法、图象法、列表法3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因____________不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______,其值域等于各段函数的值域的____________,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.对应关系并集并集1.设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式是()A.g(x)=2x+1B.g(x)=2x-1C.g(x)=2x-3D.g(x)=2x+7B2.已知a,b为实数,集合M=ba,1,N={a,0},f:x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b等于()A.-1B.1C.0D.±1B3.设函数f(x)=x,x≥0,-x,x<0,若f(a)+f(-1)=2,则a=()A.-3B.±3C.-1D.±1D4.(2014·安徽省“江南十校”联考)函数y=(x+1)0+ln(-x)的定义域为_____________________.5.已知函数f(x)=x+2x-6,则f(f(4))=________;若f(a)=2,则a=________.(-∞,-1)∪(-1,0)1914以下给出的同组函数中,是否表示同一函数?为什么?(1)f1:y=xx;f2:y=1;(2)f1:y=1,x≤1,2,1<x<2,3,x≥2;函数的基本概念f2:(3)f1:y=2x;f2:如图所示.[课堂笔记]xx≤11<x<2x≥2y123【解】(1)不同函数.f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为R.(2)同一函数.x与y的对应关系完全相同且定义域相同,它们是同一函数的不同表示方式.(3)同一函数.理由同(2).两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一函数.1.有以下判断:(1)f(x)=|x|x与g(x)=1,(x≥0)-1,(x<0)表示同一函数;(2)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个;(3)f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;(4)若f(x)=|x-1|-|x|,则ff12=0.其中正确判断的序号是________.(2)(3)【解析】对于(1),由于函数f(x)=|x|x的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)=1,(x≥0)-1,(x<0)的定义域是R,所以二者不是同一函数;对于(2),若x=1不是y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,若x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;对于(3),f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同,所以f(x)与g(t)表示同一函数;对于(4),由于f12=12-1-12=0,∴ff12=f(0)=1.综上可知,正确的判断是(2),(3).(1)(2014·湖北武汉模拟)设函数f(x)=12x-1(x≥0)1x(x<0),若f(a)=a,则实数a的值为()A.±1B.-1C.-2或-1D.±1或-2分段函数B[课堂笔记](2)(2013·高考福建卷)已知函数f(x)=2x3,x0,-tanx,0≤xπ2,则ffπ4=________.-2【解析】(1)当a≥0时,f(a)=12×a-1=a,a=-2,不合题意,舍去;当a<0时,f(a)=1a=a,a=-1(a=1舍去),故选B.(2)∵π4∈0,π2,∴fπ4=-tanπ4=-1,∴ffπ4=f(-1)=2×(-1)3=-2.解决分段函数求值问题的方法:(1)求分段函数的函数值时,应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解,有时每段交替使用求值.(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围,做到分段函数分段解决.2.(2014·浙江温州市适应性测试)设函数f(x)=x3,0≤x<5f(x-5),x≥5,那么f(2014)=()A.64B.9C.3D.1A【解析】根据题意,当x≥5时,f(x)=f(x-5),∴f(2014)=f(4),而当0≤x<5时,f(x)=x3,∴f(4)=43=64,故选A.(1)已知f2x+1=lgx,求f(x);(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;(3)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数f(x)的解析式.求函数的解析式[课堂笔记]【解】(1)(换元法)令t=2x+1,则x=2t-1,∴f(t)=lg2t-1,即f(x)=lg2x-1(x>1).(2)(待定系数法)∵f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17.即ax+(5a+b)=2x+17,因此应有a=2,5a+b=17,解得a=2,b=7.故f(x)的解析式是f(x)=2x+7.(3)(消元法)当x∈(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1).①以-x代替x得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).②由①②消去f(-x)得,f(x)=23lg(x+1)+13lg(1-x),x∈(-1,1).函数解析式的四种求法:(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式;(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法;(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;(4)消去法:已知关于f(x)与f1x或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).3.(1)已知f(x+1)=x+2x,求f(x)的解析式;(2)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等实根,且f′(x)=2x+2,求f(x)的解析式.【解】(1)法一:设t=x+1,则x=(t-1)2(t≥1);代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.故f(x)=x2-1(x≥1).法二:∵x+2x=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1,∴f(x+1)=(x+1)2-1(x+1≥1),即f(x)=x2-1(x≥1).(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b=2x+2,∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c.又∵方程f(x)=0有两个相等实根,∴Δ=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2+2x+1.已知实数a≠0,函数f(x)=2x+a,x1,-x-2a,x≥1.若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.分类讨论思想在分段函数中的应用[解析]首先讨论1-a,1+a与1的关系,当a0时,1-a1,1+a1,所以f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a;f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2.-34因为f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2,所以a=-34.当a0时,1-a1,1+a1,所以f(1-a)=2(1-a)+a=2-a;f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1.因为f(1-a)=f(1+a),所以2-a=-3a-1,所以a=-32(舍去).综上,满足条件的a=-34.(1)解答本题利用了分类讨论思想,分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.因f(x)为分段函数,要表示f(1-a)和f(1+a)时,要对自变量1-a和1+a的范围进行分类讨论,才能选取不同的关系式.另外,本例中求出a的值后,要注意检验.(2)一些分段函数求值及含有参数的函数表达式,因参数取不同值时,而导致表达式不同,因而需进行分类讨论.对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=a,a-b≤1,b,a-b1.设函数f(x)=(x2-2)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是()A.(-∞,-2]∪-1,32B.(-∞,-2]∪-1,-34C.-1,14∪14,+∞D.-1,-34∪14,+∞B【解析】当(x2-2)-(x-x2)≤1,即-1≤x≤32时,f(x)=x2-2;当(x2-2)-(x-x2)1,即x-1或x32时,f(x)=x-x2,∴f(x)=x2-2-1≤x≤32,x-x2x-1或x32,f(x)的图象如图所示,由图象可知c≤-2或-1c-34.
本文标题:函数及其表示PPT
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