杭州二中2019学年第一学期高一年级期末考数学试卷及解析-20191218160651

命题：张先军校对：黄伟一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.集合A={1，2，3，4}，B={x|(x−1)(x−a)0}，若集合A∩B={2，3，4}，则实数a的取值范围是()A.4a5B.4≤a5C.4a≤5D.a42.已知a=(19)13，b=log913，c=319，则a，b，c的大小关系是()A.abcB.cabC.acbD.cba3.已知函数f(x)=33+log2x，x0fx+12，x≤0，则f(−2)=()A.13B.3C.19D.94.下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是()A.y=sin(x+π2)B.y=1−2cos22xC.y=|ln|x||D.y=|sin(π+x)|5.已知锐角α满足cos2α=cos(π4−α)，则sinαcosα等于()A.14B.−14C.24D.−246.若e1，e2是一组基底，向量m=xe1+ye2，则称(x，y)为向量m在基底e1，e2下的坐标，现已知向量a在基底p=(1，−1)，q=(2，1)下的坐标为(−2，1)，则向量a在另一组基底m=(−2，1)，n=(−4，−1)下的坐标为()A.(2，−1)B.(1，−2)C.(−1，2)D.(−2，1)7.函数f(x)=cosx+12log2x的零点个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个8.将函数f(x)=2sin(2x+π6)的图象向左平移π12个单位，得到g(x)的图象，若g(x1)g(x2)=−4，且x1，x2∈[−2π，2π]，则x1−x2的最大值为()A.3π2B.5π2C.7π2D.9π29.P为三角形内部一点，m，n，k为大于1的正实数，且满足mPA+nPB+kPC=CB，若S△PAB，S△PAC，S△PBC分别表示△PAB、△PAC、△PBC的面积，则S△PAB：S△PAC：S△PBC为()A.k：n：mB.(k+1)：(n−1)：mC.1m：1n−1：1k+1D.k2：n2：m210.已知函数f(x)=lnx，0x≤2f4−x，2x4，若当方程f(x)=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4(x1x2x3x4)时，不等式x12+x22+x32+x42≥8(x1+x2+x3+x4)+k(x3x4−17x1x2)恒成立，则实数k的最小值为()A.112B.2−32C.176D.33−12二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11.设扇形的半径长为4cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是___________________________12.已知sinθ+cosθsinθ−cosθ=2，则sin(θ−5π)sin(3π2−θ)=_________________________杭州二中2019学年第一学期高一年级期末考数学试卷13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+1)是奇函数，若f(−4)=1则f(2018)____________________________14.若f(sin2x)=13sinx+13cosx+16，则f(120169)=________________________15.设单位向量e1，e2对任意实数λ都有|e1+12e2|≤|e1+λ2e2|，则向量e1，e2的夹角为_________________________16.在△ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，AO=λAB+μAC且2λ+3μ=1，若|AB−xAC|(其中x为实数)的最小值为1，则|AO|的最小值为_______________________17.函数f(x)=|2x−12x+t|−t，x∈[0，1]，(t为常数)，若f(x)的最大值为32，则t的取值范围为________________________三、解答题(本大题共4小题，共42分)18.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A0，ω0，|φ|π2)，其部分图象如图所示，P为最高点，且△PMN的面积为π2(1)求函数f(x)的解析式并写出函数的对称轴方程(2)把函数y=f(x)图象向右平移π12个单位，然后将图象上点的横坐标变为原来的1υ(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)在[0，5]内恰有5个函数值为2的点，求υ的取值范围19.已知函数f(x)=cos(2x−π3)+2sin(x−π4)sin(x+π4)(1)求函数f(x)在区间[−π2，π2]上的单调性(2)若A，B，C为△ABC的三个内角，且∠B=π6，∠A为锐角，f(A)=513，求cosC的值20.已知△OAB的顶点坐标为O(0，0)，A(2，3)，B(−2，−1)，点P的纵坐标为2，且OP∥PB，点Q是边AB上一点，且OQ⊥AP(1)求点P与点Q的坐标(2)以OP，OQ为邻边构造平行四边形OPMQ，(M为平行四边形的顶点)，若E，F分别在线段PM，MQ上，并且满足|PE||PM|=|MF||MQ|，试求OE∙OF的取值范围21.已知函数f(x)=−x|x−a|+1(x∈R)(1)当a=2时，求函数g(x)=f(x)−x的零点(2)当a1，求函数y=f(x)在x∈[1，3]上的最大值(3)对于给定的正数a，有一个最大的正数M(a)，使x∈[0，M(a)]时，都有|f(x)|≤2，试求出这个正数M(a)，并求它的取值范围选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案CBABCADACD非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）11．2，112．p；4113．55；214．33；3615．－216．3617．(1,2)三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18．（本题满分14分）解（Ⅰ）因为f(x)＝a•b＋1＝23sinxcosx－2cos2x＋1＝2sin(2x－6π)，故f(x)的最小正周期为π．…………………………………………………………7分（Ⅱ）若方程f(x)＝|t2－t|无解，则|t2－t|＞f(x)max＝2，所以t2－t＞2或t2－t＜－2，由t2－t＞2解得t＞2或t＜－1；由t2－t＋2＝(t－21)2＋27＞0，故不等式t2－t＜－2无解，所以t＞2或t＜－1．………………………………………………………7分19．（本题满分15分）解（Ⅰ）因为∠BAC＝∠BAD＝60°，AC＝AD，所以△ABD≌△ABC，所以BC＝BD，取CD的中点E，连接AE，BE，所以AE⊥CD，BE⊥CD，所以CD⊥平面ABE，又AB平面ABE，所以CD⊥AB．……………………………………………………7分EBDCA2019学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准（Ⅱ）在△ABD中，根据余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB▪ADcos60°＝7，所以BD＝7，又因为DE＝1，所以BE6，AE3，所以AB2＝BE2＋AE2，即AE⊥BE．…………………………………………2分方法一：设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，因为VA－BCD＝VC－ABD，即CDShSABDABE3311，所以ShCDSABDABE232sin603122626310，所以sinα＝CDh36，所以CD与平面ABD所成的角正弦值为36．……………………………6分方法二：则以AE为z轴，BE为x轴，CE为y轴，建立坐标系，则A(0，1，0)，B(0，－1，0)，C(0，0，3)，D(6，0，0)．所以CD(0,2,0)，AB(6,0,3)，AD(0,1,3)．设平面ABD的法向量为m＝(x，y，z)，则yzxz30630，取m＝2(,3,1)2，则cosCD，m＝22323236，即CD与平面ABD所成的角正弦值为36．……………………………………6分20．（本题满分15分）解（Ⅰ）原不等式等价于x4－x3－x＋1≥0，设g(x)＝x4－x3－x＋1，所以g′(x)＝4x3－3x2－1＝(x－1)(4x2＋x＋1)，当x∈(－∞,1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(1,＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．又因为g(x)min＝g(1)＝0，所以g(x)＞0，所以f(x)≥－x2＋x＋1．…………………………………………8分（Ⅱ）当x∈[－1，0]时，f(x)≥ax＋2恒成立，即xax122恒成立．当x＝0时，22=01xx；当x∈[－1，0)时，而2222=1111()2()xxxxxx，所以a≥1．…………………………………………7分21．（本题满分15分）解（Ⅰ）联立方程22132xy和y＝kx＋m，得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，所以△＝(6km)2－4(2＋3k2)(3m2－6)＞0，所以m2＜2＋3k2，所以2＋3k2＞3，即k2＞13，解得k＞33或k＜－33．…………………………………………7分（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1＋x2＝2623kmk，x1x2＝223623mk，设直线OA，OB的斜率k1，k2，因为直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，所以k1k2＝1212yyxx＝k2，即21212()()kxmkxmkxx，化简，得2＋3k2＝6k2，即k2＝23．因为|AB|＝2212531||632kxxm，原点O到直线AB的距离h＝2||3||51mmk，所以S△OAB＝12|AB|▪h＝226336622mm≤223366622622mm，当m＝2时，直线OA或OB的斜率不存在，等号取不到，所以60,2S．…………………………………………8分22．（本题满分15分）解（Ⅰ）整理得121nnnaaa，因为1212211nnnaaa，故an＞1．……………………………4分（Ⅱ）又因为1(2)(1)223nnnnnnaaaaaa，因为an＞1，所以an＋1－2与an－2同号，所以an＋1－2与a1－2同号，因为a1＞2，所以an＋1＞2，那么1210nnnaaa，则an＋1＜an，所以2＜an＋1＜an．……………………………………5分（Ⅲ）由（Ⅱ）知1(2)(1)2nnnnaaaa，故12112nnnaaa，因为2＜an＋1＜a1，所以1111112naa＝23，故1212223nnaa，所以1112223nnna，不等式三边同时求和，得12(1)2n≤Sn－2n≤23(1)3n，所以2－122n≤Sn－2n≤3－323n．…………………………………6分