高等应用数学新答案

P.342研究一下，出现下列情况时，分析过程有何更改。(a)如果与是的函数。(b)如果与是的函数。(c)如果,,和都是的函数。(补充讨论)提示：当系统处于均匀态的时候，所有相关的物理量都将有其各自确定的值；我们的目的是研究系统因为一个小的扰动而偏离均匀态的时候，它能否在经过一段时间以后回到这个均匀态。如果能，我们就称之为稳定的，反之为不稳定的。我们把这一分析过程称之为稳定性分析过程。它的基本思路是：首先确定系统的均匀态（或者称为平衡解），然后就每一个状态分析其稳定性，即引入小扰动，写出关于扰动的物理方程，并化简保留线性项，进而求解线性微分方程(组)，如果关于扰动部分的解不随时间的增长而趋于零，说明该均匀态是不稳定的。参考答案：控制方程：均匀态：小扰动：(a)自行写出分析过程，参考结果如下：线性常系数偏微分方程组：稳定性条件：(b)自行写出分析过程，参考结果如下：线性常系数偏微分方程组：稳定性条件：(c)参考分析过程：i)将,,和作Taylor展开，忽略二阶(包括二阶以上)小量：ii)代入控制方程整理，忽略二阶(包括二阶以上)小量：其中：iii)稳定性分析：猜测有如下的形式解：代入ii)的方程中可得：有非平庸解的条件是系数行列式为零：稳定性的充分条件：(为什么？上式两根均为负，见书上的分析！)稳定性条件：注：这里根据物理条件已经假定，当然也可以放弃这一假设，进行更详细的讨论。注意：(1)和的书写，如这里也可以写作；(2)是一阶小量，不是二阶小量；(3)定义为，且假设是正小量。忽略的高次项，找到二次方程较大根的近似值。推出增长得最快的扰动的波长的近似值。提示：(部分符号已作修改！做作业时要把下面省略的详细步骤补充完整!)i)二次方程：ii)定义：iii)失稳条件：因为是小量，所以也是小量，进而可知也是小量。iv)二次方程较大根的近似值：v)增长得最快，说明扰动最大极大值条件：小技巧：(舍去负值)vi)波长近似值：因为，所以波长近似值：注意：(1)正确理解题目的意思。(2)掌握在时的Taylor展开(theTaylorexpansion)。P.516在(9)式得方程中消去，以便得到关于径向运动的一个微分方程。把它积分以便推得径向运动的开普勒表示式，此处a是椭圆的长半轴，e是偏心率，n是轨道的频率，T是经过近日点的时间(thetimeofperihelionpassage)，而E（称为偏近点角,theeccentricanomaly）是一个参数，每走一圈，它的取值范围为。位置角度即为所谓的真近点角(thetrueanomaly)，量值，随时间而线性变化，称为平近点角(themeananomaly)。在推导中，应先得到下列形式的能量方程为此，请注意在近日点和远日点（即分别离太阳最近和最远的位置）处的径向速度为零。本题重点复习和掌握简单微积分和微分方程的解法，简要了解一下天文学名词。提示：从轨道运动方程推导能量方程。参考答案：轨道方程：由第二个式子，有：代入第一个式子，有：上式两边同乘以，整理得：积分上式得：在远日点和近日点处的径向速度为零，即：因此：（注意C1是否写对了，可能差一个符号）能量方程：令，有：即：令，则有：因此：当时，，则所以：，偏近点角和真近点角的关系：补充题：用简单函数(如幂级数、指数函数、对数函数)来表示当时函数的量阶：(本题要求给出具体分析过程！！！)(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)提示：两个函数之间的关系：://mathworld.wolfram.com/AsymptoticNotation.html参考分析过程举例如下：方法一、可作Taylor展开(theTaylorexpansion)的情况：(求量阶只需要展出第一项即可，这里多展了几项，只作参考)(a)因为，则(b)同(a)有，(c)(d)(g)方法二、不可能只作Taylor展开的情况：(e)逐渐忽略小量(f)这里只讨论的情况：方法三、猜测比较法，如：(c)猜测量阶为，比较时使用L’Hospital法则(theL'Hospital'srule)：为使，只有取(g)猜测量阶为，比较时使用L’Hospital法则(theL'Hospital'srule)：为使，只有取详细解题示例：(a)方法一：直接进行Taylor展开(theTaylorexpansion)因为：…所以：方法二：因为：所以：则：方法三：猜测量阶为，比较时使用L’Hospital法则(theL'Hospital'srule)：为使，只有取注意：(1)称为的双曲正弦函数，也可以写作：；称为的双曲余弦函数，也可以写作：；称为的反双曲正弦函数，也可以写作：；称为的反双曲余弦函数，也可以写作：。有同学将理解为、，都是不对的。参考：(2)幂级数不足于构成完备的标准函数集，需要补充对数函数、指数函数，以及P.6410水星轨道方程：式中，，是一小参数。题目提示的方法：解：（题目中部分符号有意更改，做作业要求按原题的符号推导！）设方程有形式解：一阶导数：二阶导数：平方项：（补充推导过程！）方程左边：方程右边：由的任意性，则：一级近似：（补充推导过程！）因此：所以：两个相继的近日点之间的角度为：注：平方项中涉及了三角函数的积化和差，请自行复习。我们也可以有下面更加一般化的写法：设方程有形式解：一阶导数：二阶导数：平方项：方程左边：方程右边：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。庞加莱方法（Poincare’smethod）水星轨道方程：式中，，是一小参数。解：（题目中部分符号有意更改，做作业要求按原题的符号！）假设：则：即原方程左边：原方程右边：当时：因为当（近日点）即时，则：而当很小时：方程右边除了零阶的项以外，最大的项为，它是因此方程的左边除了零阶的项以外，最大的项的量阶必须为我们可以分别讨论和两种情况，易见这两种情况均不合理，前者不可能找到一个常数使得成立，后者不能消除久期项的影响；因此必须有，此时为消除久期项（自行复习高等数学内容），关于的系数必须为零，则结合定解条件我们可以定出即有：两个相继的近日点之间的角度为：为得到更高阶的解，我们可以继续假设如下形式：具体的讨论略去，因为方法完全类似于上述的讨论。极烦的方法：水星轨道方程：式中，，是一小参数。这是来自一本很老的纸版参考答案的题解，里面有诸多笔误，但还是不断被传抄，因此我们将其主要的错误修改后贴在这里，仅供参考。实际上，这个解题过程相当繁琐，原因是它一开始就将一级近似代入方程推导，我们前面提供的方法有效地避免了这一复杂性，希望引起大家的重视。先简要提炼一下这份参考答案的解题过程：(最烦的方法，吃力不讨好！)解的形式：一级近似：Taylor展开：则：方程左边：（太复杂略去）方程右边：（太复杂略去）相应项相等：所以：两个相继的近日点之间的角度为：！！详细图片见网上答案！！P.904(a)阶的第一类贝塞耳函数(BesselfunctionoftheFirstKind)的定义如下：证明（形式地）这个级数给出了贝塞耳方程(Besseldifferentialequation)：的解。(b)如果是整数，试证：(c)证明:它可充当带有整数下标的贝塞耳函数(Besseldifferentialequation)的母函数。(d)证明:(e)证明:提示：本题要求验证即可，有推导兴趣的参见“数学物理方程(科大版p.84)”。(a)推导过程如下：因此：式中，为The(complete)gammafunction(b)推导过程如下：(c)推导过程如下：(d)令，代入(c)，利用Euler公式(TheEulerformula)得：两边同乘以，并在上对积分，交换积分和求和的顺序有：式中，是theKroneckerdelta.因此：(e)令，代入(d)得：实际上就是周期函数的性质。P.1027：求下列积分当时的渐近展开式：(a)补余误差函数：(b)Fresnel积分：&参考答案：（参考答案中有些符号和书上原题有可能不同，做作业请按原题！）提示：分部积分法(integrationbyparts)，注意渐近展开(asymptoticexpansion)的表示(p.94)。(a)Thecomplementaryerrorfunction:或者或者或者(b)Fresnelintegrals:(可直接推导，也可利用上述结果，具体推导过程略去，做作业需要完全写出！)因此：或者写作：P.112(8)考虑在均匀力场中沿轴的随机走动。在时间内，粒子以概率分别向左和向右移动距离（其中为常数）。写出粒子在时刻位于离原点距离处的概率的一个差分方程。求时的极限微分方程。参考答案：（参考答案中有些符号和书上原题有可能不同，做作业请按原题！）提示：题目中的左和右的对应性不是很明确，自己选择一种对应关系，给出结论即可；若差分方程和初始条件：结论为：若差分方程和初始条件：结论为：下面以一种为例来推导：差分方程和初始条件：使用Taylor展开，有：方程左边：方程右边：可见：因此：，则定义：和有极限微分方程：P.14810试作一形式为的变量代换，把微分方程：,均为常数转化成标准形式：提示：参考答案：（参考答案中有些符号和书上原题有可能不同，做作业请按原题！）变量代换：则有：代入，有：整理得：与标准形式比较，得：由上式，第二个式子，有：代入，有：即：解得：因此，取函数：作变量代换，有标准形式：P.170(9)(a)试证：(b)按照普朗克定律，温度时的辐射密度为：试证：温度时，在空腔内的总辐射密度为：参考答案：（参考答案中有些符号和书上原题有可能不同，做作业请按原题！）(a)由Taylor展开有：或者因此：那么：其中：(Integralbyparts,要求写出详细推导过程)考虑函数的Fourier展开：式中：即：由Parseval定理:因此：则有：(P.168Eqn.45/习题P.169Ex.8c得证)因为：所以：(P.169Eqn.47得证)因此：(b)空腔内的总辐射密度：令：则有：(Stefan’slaw)Ex12非齐次边界问题：(a)齐次边界问题：试证：和正交。(b)假定讨论：当有什么性质时，非齐次边界问题存在什么样的解？(c)问(b)的结论和(a)的结论是否相容。参考答案：（参考答案中有些符号和书上原题不同，做作业请按原题完成！）(a)要证明在区间上的正交性，就是要证明：写法一：分部积分并利用边界条件可以证明(自己补充详细推导过程)：写法二：（这一种写法使用了分部积分没有？）因为：和所以：则有：(b)假设则有：因此：解的性质讨论：(1)若（对于任意的自然数满足），则，即方程有唯一解；(2)若（存在自然数满足而），则无解，即方程无解；(3)若（存在自然数满足且），则有任意解，即方程有任意解。(c)相容性讨论：假设若显然有只需要讨论不恒等于零的情况，即，此时必为整数以满足边界条件，记，根据(b)中根的性质(2-3)的讨论，方程有解必有，则：因此，两个结论一样，不矛盾，一致，吻合，无差别，相容。P1826热传导方程：解为：幅度：改写为：注：这里使用的“幅度”在英文原版书中是”amplitude”，查金山词霸：【物理学】Themaximumabsolutevalueofaperiodicallyvaryingquantity.振幅周期性变量的最大绝对值【数学】Themaximumabsolutevalueofaperiodiccurvemeasuredalongitsverticalaxis.振幅沿垂直轴摆动的周期性曲线的最大绝对值因此这里取。如果有同学取，这是中文版题目本身不是很明确(可能理解成“range”)的缘故，所以这里都不判错，况且这两种理解对本题主要关心的量没有影响。中文版