上海市进才中学2020学年高二数学上学期期末考试试题沪教版

上海市进才中学2020学年第一学期期终考试高二数学试卷一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1．计算：22lim()1000nnnn。2.已经抛物线方程24yx，则其准线方程为。3.若2331A，1104B，则AB。4.已知(21)a，，(12)b，，则a在b上的投影为。5．若111111111123456abcaAbBcC，则1B化简后的最后结果等于______________。6．已知向量(2,2)a，(5,)bk，若||ab不超过5，则k的取值范围是。7．若点(2,1)P平分椭圆221128xy的一条弦，则该弦所在的直线方程为。（结果写成一般式）8．在ABC中，1AB，2AC，()2ABACAB，则ABC面积等于。9．已知R，则直线sin310xy的倾斜角的取值范围是。10．直线mxy与曲线21xy有两个不同的交点，则m的取值范围为。11．如图，O为直线02013AA外一点，若0123452013,,,,,,,AAAAAAA中任意相邻两点的距离相等，设0OAa，2013OAb，用,ab表示0122013OAOAOAOA，其结果为。12．在xOy平面上有一系列的点111222(,),(,),,(,),nnnPxyPxyPxy，对于所有正整数n，点nP位于函数2(0)yxx的图像上，以点nP为圆心的圆nP与x轴相切，且圆nP第一题第二题第三题总分1718192021学校班级姓名准考证号密封线内不要答题A1OA2A0A2013与圆1nP又彼此外切，且1nnxx。则limnnnx等于。二、选择题（每小题3分，满分12分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）13.已知两条直线11:3(1)lykx，22:3(2)lykx，则下列说法正确的是()（A）1l与2l一定相交（B）1l与2l一定平行（C）1l与2l一定相交或平行（D）以上说法都不对14．已知抛物线方程24yx，过点(1,2)P的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（）（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条15．已知方程2200mxnymnmn（），则它所表示的曲线的焦点坐标为（）（A）(,0)nm（B）(0,)nm（C）(0,)nm（D）(,0)nm16．直线2x与双曲线22:14xCy的渐近线交于AB、两点，设P为双曲线C上的任意一点，若OPaOAbOB(,abR，O为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（）（A）222ab（B）2212ab（C）222ab（D）2212ab三、解答题（共5小题，满分52分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）17．（满分8分）在ABC中，已知2,3AB，1,ACk，且ABC中有一个内角为直角,求实数k的值。18．（满分8分，每小题各4分）已知动圆过定点(1,0)P，且与定直线:1lx相切；（1）求动圆圆心M的轨迹方程；（2）设过点P且斜率为3的直线与曲线M相交于A、B两点，求线段AB的长。19．（满分10分，第1小题6分，第2小题4分）圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑。（1）建立适当的坐标系，写出圆弧的方程；（2）求支柱A2B2的高度(精确到0.01米)。20．（满分10分，第1小题4分，第2小题6分）已知椭圆C以双曲线2213xy的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）若直线:lykxm与椭圆C相交于点M,N两点（M,N不是左右顶点），且以线段MN为直径的圆过椭圆C左顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。ABOPB2B3B4B1A2A3A4A121．（满分16分，本题有3个小题．第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分）如图，已知双曲线1C：2212xy，曲线2C：||||1yx．P是平面内一点，若存在过点P的直线与1C、2C都有公共点，则称P为“1C2C型点”．（1）在正确证明1C的左焦点是“1C2C型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线ykx与2C有公共点，求证||1k，进而证明原点不是“1C2C型点；（3）求证：圆2212xy内的点都不是“1C2C型点”．密封线内不要答题上海市进才中学2020学年第一学期期终考试（时间90分钟，满分100分）高二数学试卷（2020年1月）学校班级姓名准考证号密封线内不要答题第一题第二题第三题总分1718192021一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1．计算：)10002(lim2nnnn1000,2.已经抛物线方程24yx，则其准线方程为____________。1x3.若1332A，4011B，则AB731024.已知)12(，a，(12)b，，则a在b上的投影为________。4555．若111111111123456abcaAbBcC，则1B化简后的最后结果等于_______6_______。6．已知向量(2,2)a，(5,)bk，若||ab不超过5，则k的取值范围是[6,2]。7．若点)1,2(P平分椭圆181222yx的一条弦，则该弦所在直线的方程为43110xy。（结果写成一般式）8．在ABC中，1AB，2AC，()2ABACAB，则ABC面积等于32。9.已知R，则直线sin310xy的倾斜角的取值范围是5[0,][,)66。10.直线mxy与曲线21xy有两个不同的交点，则m的取值范围为(2,1]。11．如图，O为直线02013AA外一点，若0123452013,,,,,,,AAAAAAA中任意相邻两点的距离相等，设0OAa，2013OAb，用,ab表示0122013OAOAOAOA，其结果为1007()ab。12．在xOy平面上有一系列的点111222(,),(,),,(,),nnnPxyPxyPxy，对于所有正整数n，点nP位于函数2(0)yxx的图像上，以点nP为圆心的圆nP与x轴相切，且圆nP与圆1nP又彼此外切，且1nnxx。则limnnnx等于12。二、选择题（每小题3分，满分12分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）13.已知两条直线11:3(1)lykx，22:3(2)lykx，则下列说法正确的是(D)A1OA2A0A2013（A）1l与2l一定相交（B）1l与2l一定平行（C）1l与2l一定相交或平行（D）以上说法都不对14．已知抛物线方程24yx，过点(1,2)P的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（C）（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条15．已知方程）（0022nmnmynxm，则它所表示的曲线的焦点坐标为（C）（A）)0,(mn（B）),0(mn（C）),0(mn（D）)0,(mn16．直线2x与双曲线22:14xCy的渐近线交于AB、两点，设P为双曲线C上的任意一点，若OPaOAbOB(,abR，O为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（B）（A）222ab（B）2212ab（C）222ab（D）2212ab三、解答题（共5小题，满分52分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）17.（8分）在ABC中，已知2,3AB，1,ACk，且ABC中有一个内角为直角,求实数k的值。解：(1)若90,BAC即,ABAC故0ABAC,从而230,k解得23k;(2)若90,BCA即BCAC,也就是0BCAC,而1,3,BCACABk故22||||AFBF,解得3132k；(3)若90,ABC即BCAB,也就是0,BCAB而1,3BCk,故2330k,解得11.3k综合上面讨论可知,23k或3132k或113k。18．（满分8分，每小题各4分）已知动圆过定点(1,0)P，且与定直线:1lx相切；（1）求动圆圆心M的轨迹方程；（2）设过点P且斜率为3的直线与曲线M相交于A、B两点，求线段AB的长；解：（1）因为动圆M过定点(1,0)P，且与定直线:1lx相切，所以由抛物线定义知：圆心M的轨迹是以定点(1,0)P为焦点，定直线:1lx为准线的抛物线，所以圆心M的轨迹方程为24yx------4分（2）由题知，直线AB的方程为3(1)yx------5分所以23(1)4yxyx解得：123(,),(3,23)33AB------6分（或用弦长公式或用定义均可），16||3AB----------8分19．（满分10分）圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑。（1）建立适当的坐标系，写出圆弧的方程；（2）求支柱A2B2的高度(精确到0.01米)。解：（1）以O为原点，AB方向为x轴方向建立坐标系。则圆心在y轴，设圆心坐标(0,)a。有22(4)100aa，得10.5a，所以，圆方程为222(10.5)14.5(1010,0)xyxy；（2）将2x代入圆方程，得：y=A2B23.86米。20.已知椭圆C以双曲线2213xy的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）若直线:lykxm与椭圆C相交于点M,N两点（M,N不是左右顶点），且以线段MN为直径的圆过椭圆C左顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。解：（1）2214xy；（2）设1122(,),(,)MxyNxy，联立方程组22222(14)844014ykxmkxkmxmxy，得12221228144414kmxxkmxxk。又因为以MN为直径的圆过点(2,0)A，所以0AMAN,即1212122()40xxxxyy，整理得22516120mkmk，所以65mk或2mk且满足0，若2mk，则直线l恒过定点(2,0)A，不合题意；若65mk，则直线l恒过定点6(,0)5。ABOPB2B3B4B1A2A3A4A121．（本题满分16分）本题有3个小题．第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分．如图，已知双曲线1C：2212xy，曲线2C：||||1yx．P是平面内一点，若存在过点P的直线与1C、2C都有公共点，则称P为“1C2C型点”．（1）在正确证明1C的左焦点是“1C2C型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线ykx与2C有公共点，求证||1k，进而证明原点不是“1C2C型点；（3）求证：圆2212xy内的点都不是“1C2C型点”．解：（1）C1的左焦点为(3,0)F，过F的直线3x与C1交于2(3,)2，与C2交于(3,(31))，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为3x；（2）直线ykx与C2有交点，则(||1)||1||||1ykxkxyx，若方程组有解，则必须||1k；直线ykx与C2有交点，则2222(12)222ykxkxxy，若方程组有解，则必须212k故直线ykx至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。（3）显然过圆