第四章-多自由度系统

第四章多自由度系统主讲：王林鸿教授、博士机械与汽车学院引言从数学上完整叙述多自由度系统振动理论；固有频率与振型理论；求解系统响应的振型叠加方法和变换方法。§4.1运动微分方程耦合:不是对角矩阵列向量方阵解耦是关键刚度矩阵各元素的意义i是维持力的自由度的序号J是假设位移自由度的序号列例4.1定义刚度矩阵从定义出发列出三矩阵；意义明确但比较麻烦每一步得到刚度矩阵一个列用能量法求三个矩阵用能量法求三矩阵简单易行能量法是最普遍的方法三矩阵的对称性矩阵的正定性用能量法求例4.1的矩阵用线性变换法求解方程求解的关键是解耦解耦的关键是矩阵对角化对角化的关键是找变换矩阵线性变换把耦合的旧坐标变换到解耦的新坐标解决变换矩阵的存在问题新旧坐标系的能量量不变、形式改变由能量形式改变导出新旧坐标系三矩阵与变换矩阵的关系新坐标代入老坐标方程利用新旧坐标三矩阵新坐标运动微分方程注意：新坐标下激励由老坐标初始条件导出新坐标初始条件实现了新老坐标定解问题的变换结论：存在所寻找的变换矩阵§4.2固有频率与振型解决变换矩阵具体内容问题途径：解固有振动特征值问题频率方程解得n个固有频率回代特征方程解得n个对应向量式不固有频率固有振型所谓固有，就是与外界激励无关完全决定于质量和刚度矩阵。与单自由度固有频率类比。振型的正规化人为规定一个比较大小的基准模态质量归一法正规化就是归一化在新坐标下归一最大振型归一法振型的正交性振型正交性的物理意义振型正交性的物理意义正交的振型与正交的坐标基相似正交的振型可以用作正交的坐标基振型的正规正交化条件为表达方便引入记号单位矩阵最大振型正交归一法模态质量正交归一法两种正规正交化方法刚度矩阵对角化模态质量正交归一法质量矩阵对角化最大振型正交归一法质量、刚度矩阵对角化实现质量、刚度矩阵的对角化梦里寻她千百度，慕然回首，答案却是振型矩阵能使质量刚度矩阵对角化！踏遍千山万水，历尽千辛万苦，总算找到它了！全体振型向量组的线性无关性全体振型向量组线性无关基、线性表出、振型坐标展开定理能够解耦的新坐标就是振型坐标展开定理的矩阵形式至此为了方程解耦而苦苦寻找的：线性变换变换矩阵=振型矩阵新坐标=振型坐标全部水落石出。振型坐标下的运动微分方程用寻找到的结论重新书写解耦运动方程：线性变换变换矩阵=振型矩阵新坐标=振型坐标模态质量归一法最大振型归一法n个单自由度定解问题的组合通过线性变换解耦物理空间()()0ttMuKu耦合模态空间解耦()()0iiiiMqtKqt()()ttuΦq()()ttuΦq模态叠加法现实社会问题“中国梦”(1)121φ1km11x22x31xx第一阶固有振型:(2)101φ23km31x11x20xx第二阶固有振型:(3)111φ32km11x21x31xx第三阶固有振型:节点多自由度无阻尼自由振动解的特征振型图反映了各自由度之间的振动规则（章法）固有振型固有振型返回固有振型1st水平弯曲2nd水平弯曲1st扭转2nd扭转1st垂直弯曲2nd垂直弯曲固有振型膜的各阶固有振型固有振型典型模态分析实例激励力可测汽车、工程机械、发动机、卫星等变时基法测量大型结构铁路桥、飞船发射平台、超重训练机等激励力不可测桥梁、楼房、井架等运行中的机车实例1(火箭发动机,卫星,雷达)实例2(汽车,工程机械)实例3(龙洗、编钟、模型、集中质量梁)实例4(大型结构,锤击)航天员超重训练机铁路桥飞船发射平台(750T)实例5(桥梁)上海卢浦大桥目前世界上最大跨径钢拱、梁组合体系中承式系杆拱桥超低频,频率密集,振型耦合强分析了前12阶模态，包括对称和反对称的竖弯、侧弯、扭转等实例6中旅大厦西宁北川河桥井架运行中的机车§4.3动力响应分析多自由度系统的强迫振动阻尼耦合与解耦已经解决：质量矩阵和刚度矩阵对角化问题：找振型矩阵还需解决：阻尼矩阵的对角化问题：人为近似处理。振型叠加法求解步骤老坐标定解问题通过齐次方程求固有振动得振型矩阵，用振型矩阵作线性变换矩阵坐标定解问题的形式阻尼耦合与模态阻尼矩阵对角化问题模态阻尼矩阵Rayleigh阻尼的对角化通过振型矩阵对角化老坐标下阻尼矩阵振型矩阵无法对角化的人为强行规定人为规定新坐标下的阻尼矩阵为对角矩阵人为强行规定对角化的三种方法人为规定新坐标下的阻尼矩阵为对角矩阵解耦后的定解问题及解法变成n个单自由度方程逐个求解后，振型坐标下叠加激励振型阶数的取舍响应振型阶数的取舍前十阶振型足矣！动力响应举例第j行不为0的列向量第j阶振型新坐标下每个解耦运动方程的解变成n个单自由度方程每个方程第j行元素非0每个方程的单位脉冲响应旧坐标下系统总响应与单个自由度的响应n个振型的线性组合，是个列向量取上边列向量的第i行,是个函数多自由度单位脉冲响应矩阵传感器位置锤击位置振动模态试验系统固有特性：由固有频率和固有振型构成§4.4动力响应分析中的变换方法拉普拉斯变换法变换关系傅里叶变换法传递函数矩阵元素的意义频响函数矩阵元素的意义与脉冲响应函数互为变换对传递函数频响函数与模态参数的关系•受简谐激励的振动系统当激励频率接近系统的固有频率时会产生共振。•为减少振动，要改变系统的固有频率，或者增加系统的阻尼。•如果受实际条件的限制，系统的固有频率不能改变，而增加阻尼后仍嫌响应过大，则可考虑采用动力吸振器。4、动力吸振器隔振与减振措施二自由度动力吸振器精心选择字子系统参数李代桃僵动力吸振曲线动力吸振器与阻尼夹在两座大山之间，要格外小心第四章知识点核心问题是耦合与解耦；主要规律是固有振动。耦合方程向解耦方程的形式转变；刚度矩阵元素的物理意义；广义特征值问题；频率方程；振型正规化（归一化）；两种归一化方法；模态质量、模态刚度；正规正交化条件；n个振型向量构成n维向量空间一个基；n个阵型线性表出；振型坐标（主坐标）；展开定理；振型坐标系下的运动微分方程形式；阻尼矩阵人为对角化的方法；多自由度系统的单位脉冲响应；动力吸振器。基本算法：1.解频率方程得n个固有频率；2.分别回代n个固有频率至广义特征值问题；3.分别解相应的广义特征值问题得n个振型；4.由n个振型构成阵型矩阵即是能使方程解耦的变换矩阵；5.用振型矩阵进行线性变换，阻尼矩阵人为对角化，使方程解耦，变成一组单自由度方程组；6.用单自由度系统的方法分别求解解耦方程组得到一组振型坐标系下的解；7.利用展开定理得到原耦合方程的解。习题4.14.24.34.7谢谢