2020年高考理科数学一轮复习考点与题型全归纳第9章平面解析几何

第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角、斜率与直线的方程一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为αα≠π2，则斜率k＝tanα.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；(3)y轴的方程为x＝0；(4)x轴的方程为y＝0.考点一直线的倾斜角与斜率[典例](1)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．[解析](1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2·cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的取值范围是π4，π3.(2)设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－3，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]．故直线l斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[答案](1)B(2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)[变透练清]1.变条件若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A(cosθ，sin2θ)，B(0,1)，则直线AB的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cosθ≠0，则斜率k＝tanα＝sin2θ－1cosθ－0＝－cosθ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB的倾斜角的取值范围是0，π4∪3π4，π.答案：0，π4∪3π4，π2.变条件若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，则直线l斜率的取值范围为________．解析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1＋k)(－3＋k)≤0，即(3k－1)(k－3)≤0，解得13≤k≤3.即直线l的斜率的取值范围是13，3.答案：13，33．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析：因为kAC＝5－36－4＝1，kAB＝a－35－4＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：4考点二直线的方程[典例](1)若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________．[解析](1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－25，此时，直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.②当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.(2)由3x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3.又直线过点A(－3，3)，所以所求直线方程为y－3＝3(x＋3)，即3x－y＋6＝0.(3)设C(x0，y0)，则M5＋x02，y0－22，N7＋x02，y0＋32.因为点M在y轴上，所以5＋x02＝0，所以x0＝－5.因为点N在x轴上，所以y0＋32＝0，所以y0＝－3，即C(－5，－3)，所以M0，－52，N(1,0)，所以直线MN的方程为x1＋y－52＝1，即5x－2y－5＝0.[答案](1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0(2)3x－y＋6＝0(3)5x－2y－5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________．解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.答案：x－y＋1＝0或x＋y－3＝02．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为xa＋1＋ya＝1，则6a＋1＋－2a＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是x2＋1＋y2＝1或x1＋1＋y1＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.答案：2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0考点三直线方程的综合应用[典例]已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当|MA―→|·|MB―→|取得最小值时直线l的方程．[解]设A(a,0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，直线l的方程为xa＋yb＝1，所以2a＋1b＝1.|MA―→|·|MB―→|＝－MA―→·MB―→＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)2a＋1b－5＝2ba＋2ab≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax＋by＝ab(a0，b0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A．1B．2C．4D．8解析：选C∵直线ax＋by＝ab(a0，b0)过点(1,1)，∴a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，∴a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与A(－1,0)，B(1,0)两点连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是()A．[－6，6]B.－∞，－66∪66，＋∞C.－∞，－66∪66，＋∞D.－22，22解析：选C设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得yx＋1·yx－1＝3，即y2＝3x2－3.联立x－my＋3m＝0，y2＝3x2－3，得1m2－3x2＋23mx＋6＝0(m≠0)，则Δ＝23m2－241m2－3≥0，即m2≥16，解得m≤－66或m≥66.∴实数m的取值范围是－∞，－66∪66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.33B.3C．－3D．－33解析：选A设直线l的斜率为k，则k＝－sin30°cos150°＝33.2．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A.3x－y＋1＝0B.3x－y－3＝0C.3x＋y－3＝0D.3x＋y＋3＝0解析：选D由于倾斜角为120°，故斜率k＝－3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.3．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A．2x＋y－12＝0B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0D．2x－y＋8＝0解析：选C由题知M(2,4)，N(3,2)，则中位线MN所在直线的方程为y－42－4＝x－23－2，整理得2x＋y－8＝0.4．方程y＝ax－1a表示的直线可能是()解析：选C当a＞0时，直线的斜率k＝a＞0，在y轴上的截距b＝－1a＜0，各选项都不符合此条件；当a＜0时，直线的斜率k＝a＜0，在y轴上的截距b＝－1a＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为()A．3x－y－6＝0B．3x＋y＋6＝0C．3x－y＋6＝0D．3x＋y－6＝0解析：选C因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.6．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x－y＝33的倾斜角的2倍，则()A．m＝－3，n＝1B．m＝－3，n＝－3C．m＝3，n＝－3D．m＝3，n＝1解析：选D对于直线mx＋ny＋3＝0，令x＝0得y＝－3n，即－3n＝－3，n＝1.因为3x－y＝33的斜率为60°，直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角是直线3x－y＝33的2倍，所以直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m＝3.7．当0k12时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由kx－y＝k－1，ky－x＝2k得x＝kk－1，y＝2k－1k－1.又∵0k12，∴x＝kk－10，y＝2k－1k－10，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．8．若直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为()A．x－2y＋4＝0B．x－2y＋8＝0C．2x－y＋4＝0D．2x－y＋8＝0解析：选B由l的方程，得A－2＋4kk，0，B(0,2＋4k)．依题意得－2＋4kk＜0，2＋4k＞0，解得k＞0.因为S＝12|OA|·|OB|＝122＋4kk·|2＋4k|＝12·2＋4k2k＝1216k＋4k＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k＝4k，即k＝12时等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0.9．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________________．解析：由A，B两点得kAB＝12，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.答案：2x＋y－14＝010．已知直线l过点