2020年高考文科数学一轮复习导学案第7章立体几何

第一节几何体的结构、三视图、体积与表面积授课提示：对应学生用书第132页[基础梳理]1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称：①形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是完全相同的；②名称：三视图包括正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法：①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．5．多面体的表面积与侧面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．6．旋转体的表面积与侧面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2πrl2πr(l＋r)圆锥(底面半径r，母线长l)πrlπr(l＋r)圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)π(r1＋r2)lπ(r1＋r2)l＋π(r21＋r22)球(半径为R)4πR27.空间几何体的体积(h为高，S为下底面积，S′为上底面积)(1)V柱体＝Sh.特别地，V圆柱＝πr2h(r为底面半径)．(2)V锥体＝13Sh.特别地，V圆锥＝13πr2h(r为底面半径)．(3)V台体＝13h(S＋SS′＋S′)．特别地，V圆台＝13πh(r2＋rr′＋r′2)(r，r′分别为上、下底面半径)．(4)V球＝43πR3(球半径是R)．1．几类特殊多面体(1)直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱．正棱柱：正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱．(2)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心的棱锥为正棱锥．2．利用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原来图形的24倍．3．三视图的基本要求长对正，高平齐，宽相等．4．几个结论(1)棱长为a的正四面体，其高为63a.其内切球和外接球的球心重合，是正四面体的中心．其外接球和内切球的半径分别为64a和612a.(2)长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则体对角线长为a2＋b2＋c2，即为外接球直径．[四基自测]1．如图，长方体ABCDA′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体答案：C2．某几何体的三视图如图所示，根据三视图可以判断这个几何体为()A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台答案：C3．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．答案：14．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋3)B．48(3＋23)C．24(6＋2)D．144答案：A5．球内接正方体的棱长为1，则球的表面积为________．答案：3π考点一简单几何体的三视图与直观图◄考基础——练透[例1](1)(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼．图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.答案：A(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图是()解析：取DD1的中点F，连接AF，C1F，平面AFC1E为截面．如图所示：所以上半部分的正视图，如A选项所示．答案：A(3)某几何体的主视图和左视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图(2)，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为()A．48B．64C．96D．128解析：由题意可知该几何体是一个直四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1＝6，O1C1＝2，∴它的俯视图是边长为6的菱形，∵棱柱的高为4，∴该几何体的侧面积为4×6×4＝96，故选C.答案：C1．识别给出几何体的三视图需抓住三视图的特征，同时注意实虚线．2．三视图还原的三方法(1)熟悉常见几何体的三视图，如两个矩形、一个圆形为圆柱，三个三角形为三棱锥等．(2)直接还原．将几何体放在长方体或正方体中，一般从俯视图入手，找几何体顶点的位置，再确定实虚线．(3)将几何体放入柱体或锥体中，通过合理切割得到相应几何体．3．原图与直观图中的“三变”与“两不变”(1)“三变”坐标轴的夹角改变与y轴平行的线段的长度改变减半图形改变(2)“两不变”平行关系不变与x轴平行的线段长度不变1．如图(1)所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图(2)所示，则可以作为其正视图的是()解析：根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B，D；而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A.答案：C2．已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．解析：取AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，y轴交DC于点E，O，E在斜二测画法中的对应点为O′，E′，过E′作E′F′⊥x′轴，垂足为F′，在等腰梯形ABCD中，∵CD＝1，AB＝3，AD＝CB＝2，∴OE＝1，由斜二测画法知，AB＝A′B′＝3，CD＝C′D′＝1，O′E′＝12OE＝12，∴E′F′＝O′E′sin45°＝12×22＝24，∴直观图A′B′C′D′的面积为1＋32×24＝22.答案：22考点二几何体的表面问题——知法[例2](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．2解析：先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．ON＝14×16＝4，OM＝2，∴|MN|＝OM2＋ON2＝22＋42＝25.故选B.答案：B(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示．长方体的长、宽、高分别为4,3,1，表面积为4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38，圆柱的底面圆直径为2，母线长为1，侧面积为2π×1＝2π，圆柱的两个底面面积和为2×π×12＝2π.故该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38.答案：381．几何体表面上的最短距离问题几何体表面上的两点间的最短距离，其求解方法是把几何体展开为平面图形，平面图形相应两点的线段为其最短距离．2．几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(5)几何体切、割后的图形的表面，不一定是减少，甚至可能增加．1．(2019·九江模拟)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为()A．6＋42＋23B．8＋42C．6＋62D．6＋22＋43解析：直观图是四棱锥PABCD，如图所示，S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝12×2×2＝2，S△PBC＝12×22×22×sin60°＝23，S四边形ABCD＝22×2＝42，故此棱锥的表面积为6＋42＋23，故选A.答案：A2．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积为()A．17πB．18πC．20πD．28π解析：该几何体是一个球体挖掉18剩下的部分，如图所示，依题意得78×43πR3＝28π3，解得R＝2，所以该几何体的表面积为4π×22×78＋34π×22＝17π.答案：A考点三空间几何体的体积◄考基础——练透[例3](1)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π解析：法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝π×32×7＝63π，故选B.答案：B(2)(2018·高考天津卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．解析：依题意，易知四棱锥M－EFGH是一个正四棱锥，且底面边长为22，高为12.故VM－EFGH＝13×222×12＝112.答案：112(3)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥C1－B1DA的体积为()A．3B.32C．1D.32解析：在△ABC中，D为BC中点，则有AD＝32AB＝3，S△DB1C1＝12×2×3＝3.又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1底面上的高．∴VC1－B1DA＝VA－C1B1D＝13S△DB1C1·AD＝13×3×3＝1.答案：C求几何体的体积的方法方法解读适合题型直接法对于规则几何体，直接利用公式计算即可．若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解规则几何体割补法当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体不规则几何体等积转换法利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面．求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算三棱锥1．(2019·大连双基检测)如图所示，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为()A．15B．13C．12D．9解析：几何体的直观图如图所示，其中底面ABCD是一个矩形(其中AB＝5，BC＝2)，棱EF∥底面ABCD，且EF＝3，直线EF到底面ABCD的距离是3.连接EB，EC，则题中的多面体的体积等于四棱锥E－ABCD与三棱锥E－FBC的体