2020届高考数学理一轮复习讲义82空间几何体的表面积与体积

§8.2空间几何体的表面积与体积最新考纲考情考向分析了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.主要考查涉及空间几何体的表面积与体积.常以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.1.多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l3.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3概念方法微思考1.如何求旋转体的表面积？提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和.2.如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.(√)(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(√)(3)锥体的体积等于底面积与高之积.(×)(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝32a.(√)(5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)题组二教材改编2.已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A.1cmB.2cmC.3cmD.32cm答案B解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2.3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.答案1∶47解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝13×12×12a×12b×12c＝148abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－148abc＝4748abc，所以V1∶V2＝1∶47.题组三易错自纠4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.323πC.8πD.4π答案A解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为23即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.答案163π解析由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为π×22×2－13π×22×2＝163π.题型一求空间几何体的表面积1.(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.122πB.12πC.82πD.10π答案B解析设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝22，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.2.(2019·抚顺模拟)下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为()A.42＋23＋2B.43＋4C.22＋43＋2D.82＋4答案A解析该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥B1－ACD，则其表面积为四个面面积之和S＝2×12×2×22＋12×2×2＋34×(22)2＝42＋23＋2.思维升华空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.题型二求空间几何体的体积命题点1求以三视图为背景的几何体的体积例1(2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π答案B解析方法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.方法二(估值法)由题意知，12V圆柱V几何体V圆柱，又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45πV几何体90π.观察选项可知只有63π符合.故选B.命题点2求简单几何体的体积例2如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为()A.3B.32C.1D.32答案C解析如题图，因为△ABC是正三角形，且D为BC中点，则AD⊥BC.又因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD是三棱锥A－B1DC1的高.所以11ABDCV锥－三棱＝1113BDCS△·AD＝13×3×3＝1.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)直接利用公式进行求解.(2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图.跟踪训练1(1)(2018·兰州模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A.5000立方尺B.5500立方尺C.6000立方尺D.6500立方尺答案A解析(分割法)该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和.又可以将三棱柱ADE－GHF割补成高为EF，底面积为S＝12×3×1＝32(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝32×2＋13×2×3×1＝5(立方丈)＝5000(立方尺).(2)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是________.答案233解析111DABCBABCVV－－＝1111233.33ABBCBBCVS－△＝＝＝题型三与球有关的切、接问题例3已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B.210C.132D.310答案C解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝522＋62＝132.引申探究1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，从而V外接球＝43πR3＝43π×(23)3＝323π，V内切球＝43πr3＝43π×23＝32π3.2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×34·a2＝3a2，其内切球半径r为正四面体高的14，即r＝14·63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2πa26＝63π.3.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为32×2＝6，高为322－12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心.(2)“接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.跟踪训练2(1)(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A.123B.183C.243D.543答案B解析由等边△ABC的面积为93，可得34AB2＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝23.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D－ABC体积的最大值为13×93×6＝183.(2)(2019·长春东北师大附中模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为()A.34πB.25πC.41πD.50π答案A解析根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是4,3,3的长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以有R＝42＋32＋322＝342，从而求得其表面积为S＝4πR2＝34π，故选A.1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A.16＋83B.16＋43C.48＋83D.48＋43答案C解析根据三视图知，该几何体是底面为等边三角形，高为4的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示，结合图中数据，计算它的表面积是S＝2×12×23×4＋3×4×4＝48＋83.2.(2018·鞍山质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.3π＋8B.2π＋8C.2π＋4＋42D.3π＋4＋42答案D解析由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个半球，球的半径为1，右边是一个三棱柱，三棱柱底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为2，组合体表面积由球表面积的一半，圆面积、棱柱的侧面积组成，其值为12×4π×12＋π×12＋(22＋2)×2＝3π＋4＋42，故选D.3.(2018·锦州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.18B.24C.32D.36答案B解析由三视图可知，几何体是三棱柱削去一个同底的三棱锥，如图，三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24.4.《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V≈136l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈25942l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取()A.227B.258C.15750D.355113答案C解析V＝13πr2h＝13π×l2π2h＝112πl2h，由112π≈25942，得π≈15750，故选C.5.(2018·营口模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.163B.203C.169D.209答案B解析由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为2的正方形为底面，高为2的四棱锥，其体积为V1＝13×2×2×2＝83；右侧为一个直三棱柱，其底面如俯视图所示，高为2，其体积为V2＝12×2×2×2＝4，所以该几