2020届高考数学理一轮复习讲义131第1课时坐标系

§13.1坐标系与参数方程第1课时坐标系最新考纲考情考向分析1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.1．平面直角坐标系设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x，λ0，y′＝μ·y，μ0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθ－π2≤θπ2圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θπ)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a－π2θπ2过点a，π2，与极轴平行的直线ρsinθ＝a(0θπ)概念方法微思考1．平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗？提示不能，极径需和极角结合才能唯一确定一个点．2．由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？提示平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是2，－π3.(√)(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(√)(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(×)题组二教材改编2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4答案A解析∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)；∴ρ＝1sinθ＋cosθ0≤θ≤π2.3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A.1，π2B.1，－π2C．(1,0)D．(1，π)答案B解析方法一由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为1，－π2.方法二由ρ＝－2sinθ＝2cosθ＋π2，知圆心的极坐标为1，－π2，故选B.题组三易错自纠4．在极坐标系中，已知点P2，π6，则过点P且平行于极轴的直线方程是()A．ρsinθ＝1B．ρsinθ＝3C．ρcosθ＝1D．ρcosθ＝3答案A解析先将极坐标化成直角坐标表示，P2，π6转化为直角坐标为x＝ρcosθ＝2cosπ6＝3，y＝ρsinθ＝2sinπ6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.5．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为．答案x2＋y2－2y＝0解析由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.6．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．当△AOB是等边三角形时，求a的值．解由ρ＝4sinθ可得圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由ρsinθ＝a可得直线的直角坐标方程为y＝a(a0)．设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.在Rt△DOB中，易求DB＝33a，∴B点的坐标为33a，a.又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴33a2＋a2－4a＝0，即43a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.所以a＝3.题型一极坐标与直角坐标的互化1．(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r0)为极坐标方程；(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sinθ为直角坐标方程．解(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝r2(r0)，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，即ρ＝r.所以以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ2π)．(2)方法一把ρ＝x2＋y2，sinθ＝yρ代入ρ＝8sinθ，得x2＋y2＝8·yx2＋y2，化简得x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16.方法二方程ρ＝8sinθ两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsinθ，因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，所以x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16.2．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ－3ρsinθ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．解(1)∵C1：ρcosθ－3ρsinθ－1＝0，∴x－3y－1＝0表示一条直线．由C2：ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.∴C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆．(2)由(1)知，点(1,0)在直线x－3y－1＝0上，∴直线C1过圆C2的圆心．因此两交点A，B的连线是圆C2的直径．∴两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解决此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．题型二求曲线的极坐标方程例1将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得x＝x1，y＝2y1.由x21＋y21＝1，得x2＋y22＝1，即曲线C的标准方程为x2＋y24＝1.(2)由x2＋y24＝1，2x＋y－2＝0，解得x＝1，y＝0或x＝0，y＝2.不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线的斜率为k＝12，于是所求直线的方程为y－1＝12x－12，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sinθ－2cosθ.思维升华求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．跟踪训练1已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝t(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解(1)∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，∴ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0，∴圆C的极坐标方程为ρ＝22sinθ－π4.又直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝t(t为参数)，消去t后得y＝x＋1，∴直线l的极坐标方程为sinθ－cosθ＝1ρ.(2)当θ＝3π4时，|OP|＝22sin3π4－π4＝22，∴点P的极坐标为22，3π4，|OQ|＝122＋22＝22，∴点Q的极坐标为22，3π4，故线段PQ的长为322.题型三极坐标方程的应用例2在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋cosα，y＝2＋sinα(α为参数)，直线C2的直角坐标方程为y＝3x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|＋1|OB|.解(1)由曲线C1的参数方程为x＝2＋cosα，y＝2＋sinα(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，由于直线C2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)．(2)由ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，θ＝π3，得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA|＋1|OB|＝|OA|＋|OB||OA|·|OB|＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.思维升华极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位．(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．跟踪训练2(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10)．由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2