2020届高考数学文一轮复习讲义第5章53平面向量的数量积

§5.3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1．两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．(3)向量垂直如果〈a，b〉＝π2，则a与b垂直，记作a⊥b.2．向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)，作OA→＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量O1A1→叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量．OA→＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cosθ.3．向量的数量积(1)向量的数量积(内积)的定义|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)向量数量积的性质①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；②a⊥b⇔a·b＝0；③a·a＝|a|2，|a|＝a·a；④cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)；⑤|a·b|≤|a||b|.(3)向量数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a.②对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(4)向量数量积的坐标运算与度量公式设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则①a·b＝a1b1＋a2b2；②a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；③|a|＝a21＋a22；④cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22·b21＋b22.概念方法微思考1．a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗？提示不相同．因为a在b方向上的正投影为|a|cosθ，而b在a方向上的正投影为|b|cosθ，其中θ为a与b的夹角．2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量，而不是向量．(√)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(×)(5)两个向量的夹角的范围是0，π2.(×)(6)若a·b0，则a和b的夹角为钝角．(×)题组二教材改编2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.答案12解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的正投影为________．答案－2解析由数量积的定义知，b在a方向上的正投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.题组三易错自纠4．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.答案23解析方法一|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝23.方法二(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC→|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的正投影为________．答案322解析AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，由定义知，AB→在CD→方向上的正投影为AB→·CD→|CD→|＝1552＝322.6．已知△ABC的三边长均为1，且AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.答案－32解析∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－12，∴a·b＋b·c＋a·c＝－32.题型一平面向量数量积的基本运算1．已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于()A．8B．10C．11D．12答案D解析∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)，又(a＋b)⊥b，∴(x－2)×(－2)＋20＝0，∴x＝12.2．(2018·全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于()A．4B．3C．2D．0答案B解析a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.3．(2019·铁岭模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则AD→·AE→等于()A.49B.89C.269D.263答案C解析如图，|AB→|＝|AC→|＝2，〈AB→，AC→〉＝60°，∵D，E是边BC的两个三等分点，∴AD→·AE→＝AB→＋13BC→·AC→＋13CB→＝23AB→＋13AC→·13AB→＋23AC→＝29|AB→|2＋59AB→·AC→＋29|AC→|2＝29×4＋59×2×2×12＋29×4＝269.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解．题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模例1(1)(2019·抚顺模拟)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且AB→·CD→＝－5，则|BD→|等于()A．1B．2C．3D．4答案C解析如图所示，设AD→＝kAB→，所以CD→＝AD→－AC→＝kAB→－AC→，所以AB→·CD→＝AB→·(kAB→－AC→)＝kAB→2－AB→·AC→＝25k－5×6×12＝25k－15＝－5，解得k＝25，所以|BD→|＝1－25|AB→|＝3.(2)如果||a＝2，||b＝3，a·b＝4，则||a－2b的值是()A．24B．26C．－24D．－26答案B解析由||a＝2，||b＝3，a·b＝4，得||a－2b＝a－2b2＝a2＋4b2－4a·b＝4＋36－4×4＝26.命题点2求向量的夹角例2(1)(2018·通辽质检)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案B解析由题意得a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cosα＝4－2cosα＝3，∴cosα＝12，∵0≤α≤π，∴α＝π3.(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．答案33解析由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，|3e1－e2|＝3e1－e22＝3e21－23e1·e2＋e22＝3－0＋1＝2.同理|e1＋λe2|＝1＋λ2.所以cos60°＝3e1－e2·e1＋λe2|3e1－e2||e1＋λe2|＝3e21＋3λ－1e1·e2－λe2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.思维升华(1)求解平面向量模的方法①利用公式|a|＝x2＋y2.②利用|a|＝a2.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝a·b|a||b|，θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．跟踪训练1(1)(2019·锦州模拟)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.答案3解析∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1，∴4－4|b|cos30°＋b2＝1，整理得|b|2－23|b|＋3＝(|b|－3)2＝0，解得|b|＝3.(2)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案B解析∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝22，∴〈a，b〉＝π4.题型三平面向量与三角函数例3已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．解(1)a·b＝cos3x2cosx2－sin3x2·sinx2＝cos2x.∵a＋b＝cos3x2＋cosx2，sin3x2－sinx2，∴|a＋b|＝cos3x2＋cosx22＋sin3x2－sinx22＝2＋2cos2x＝2|cosx|.∵x∈－π3，π4，∴cosx0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2cosx－122－32.∵x∈－π3，π4，∴12≤cosx≤1，∴当cosx＝12时，f(x)取得最小值－32；当cosx＝1时，f(x)取得最大值－1.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈0，π2.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为π3，求x的值．解(1)因为m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即22sinx－22cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cosπ3＝12，即22sinx－22cosx＝12，所以sinx－π4＝12，因为0xπ2，所以－π4x－π4π4，所以x－π4＝π6，即x＝5π12.1．已知a，b为非零向量，则“a·b0”是“a与b的夹角为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析根据向量数量积的定义式可知，若a·b0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b0，所以“a·b0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为()A．1B．－1C．2D．－2答案B解析向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，则ka－2b＝()k－4，k＋6.若ka－2b与a垂直，则k－4＋k＋6＝0，解得k＝－1.故选B.3．(2018·乌海模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(3，2)