2020届高考数学文一轮复习讲义第3章32第2课时导数与函数的极值最值

第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x－2时，f′(x)0；当－2x1时，f′(x)0；当1x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．命题点2求已知函数的极值例2(2018·通辽质检)已知函数f(x)＝x－1＋aex(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值．解f′(x)＝1－aex＝ex－aex，①当a≤0时，f′(x)0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna，当x∈(－∞，lna)时，f′(x)0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．命题点3根据极值(点)求参数例3若函数f(x)＝x33－a2x2＋x＋1在区间13，4上有极值点，则实数a的取值范围是()A.2，103B.2，103C.103，174D.2，174答案D解析因为f(x)＝x33－a2x2＋x＋1，所以f′(x)＝x2－ax＋1.函数f(x)＝x33－a2x2＋x＋1在区间13，4上有极值点，可化为x2－ax＋1＝0在区间13，4上有解，即a＝x＋1x在区间13，4上有解，设t(x)＝x＋1x，则t′(x)＝1－1x2，令t′(x)0，得1x4，令t′(x)0，得13x1.所以t(x)在(1,4)上单调递增，在13，1上单调递减．所以t(x)min＝t(1)＝2，又t13＝103，t(4)＝174，因为a＝2时，f(x)在区间13，4上不存在极值点，所以a∈2，174.思维升华函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c.(1)当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．解f′(x)＝3ax2－4x＋1.(1)函数f(x)的图象过点(0,1)时，有f(0)＝c＝1.当a＝1时，f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，由f′(x)0，解得x13或x1；由f′(x)0，解得13x1.所以函数f(x)在－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在13，1上单调递减，所以函数f(x)的极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立．①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；②当a≠0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥43.综上，a的取值范围为43，＋∞.题型二用导数求函数的最值例4(2018·抚顺检测)已知函数f(x)＝x－1x－lnx.(1)求f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在1e，e上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．解(1)f(x)＝x－1x－lnx＝1－1x－lnx，f(x)的定义域为(0，＋∞)．∵f′(x)＝1x2－1x＝1－xx2，由f′(x)0，得0x1，由f′(x)0，得x1，∴f(x)＝1－1x－lnx在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f(x)在1e，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f(x)在1e，e上的最大值为f(1)＝1－11－ln1＝0.又f1e＝1－e－ln1e＝2－e，f(e)＝1－1e－lne＝－1e，且f1ef(e)，∴f(x)在1e，e上的最小值为f1e＝2－e.∴f(x)在1e，e上的最大值为0，最小值为2－e.思维升华(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．跟踪训练2(2017·北京)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．解(1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.当x∈0，π2时，h′(x)0，所以h(x)在区间0，π2上单调递减，所以对任意x∈0，π2有h(x)h(0)＝0，即f′(x)0，所以函数f(x)在区间0，π2上单调递减，因此f(x)在区间0，π2上的最大值为f(0)＝1，最小值为fπ2＝－π2.题型三函数极值、最值的综合问题例5(2018·葫芦岛调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋cex(a0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．解(1)f′(x)＝2ax＋bex－ax2＋bx＋cexex2＝－ax2＋2a－bx＋b－cex.令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点且f′(x)与g(x)符号相同．又因为a0，所以当－3x0时，g(x)0，即f′(x)0，当x－3或x0时，g(x)0，即f′(x)0，所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有9a－3b＋ce－3＝－e3，g0＝b－c＝0，g－3＝－9a－32a－b＋b－c＝0，解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝x2＋5x＋5ex.因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，而f(－5)＝5e－5＝5e55＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.思维升华(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．跟踪训练3已知函数f(x)＝ax3＋2x2－4x＋5，当x＝23时，函数f(x)有极值，则函数f(x)在[－3,1]上的最大值为________．答案13解析f′(x)＝3ax2＋4x－4，由f′23＝0可得a＝1，经验证f23为极值；∴f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝23.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示：x－3(－3，－2)－2－2，232323，11f′(x)＋＋0－0＋＋f(x)81395274∴函数f(x)在[－3,1]上的最大值为13.利用导数求函数的最值例(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．规范解答解(1)f′(x)＝1x－a(x0)，①当a≤0时，f′(x)＝1x－a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．[2分]②当a0时，令f′(x)＝1x－a＝0，可得x＝1a，当0x1a时，f′(x)＝1－axx0；当x1a时，f′(x)＝1－axx0，故函数f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，＋∞.[4分]综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为0，1a，单调递减区间为1a，＋∞.[5分](2)①当1a≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.[6分]②当1a≥2，即0a≤12时，函数f(x)在[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.[7分]③当11a2，即12a1时，函数f(x)在1，1a上是增函数，在1a，2上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，所以当12aln2时，最小值是f(1)＝－a；当ln2≤a1时，最小值为f(2)＝ln2－2a.[11分]综上可知，当0aln2时，函数f(x)的最小值是f(1)＝－a；当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.[12分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当xx1时，f′(x)0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f′(x)0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.2．函数f(x)＝13x3－4x＋4的极大值为()A.283B．6C.263D．7答案A解析f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－2)＝283.3．函数y＝xex的最小值是()A．－1