中考数学全面突破第十六讲图形的对称平移与旋转

第十六讲图形的对称、平移与旋转命题点分类集训命题点1轴对称图形与中心对称图形的识别【命题规律】1.考查内容及形式：①中心对称图形或轴对称图形的识别；②既是轴对称图形又是中心对称图形的识别；③已知图形是轴对称图形，判断对称轴的条数；2.考查题型都是选择题，掌握轴对称和中心对称的概念是关键．【命题预测】轴对称图形与中心对称图形的识别是对平面图形特征的研究，近年命题也频频出现，值得关注．1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，不是．．轴对称的是()1.D2.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是()2.B3.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()3.B4.下列几何图形：其中是轴对称图形但不是中心对称图形的共有()A.4个B.3个C.2个D.1个4.C5.我国传统建筑中，窗框(如图①)的图案玲珑剔透、千变万化．窗框一部分(如图②)，它是一个轴对称图形，其对称轴有()A.1条B.2条C.3条D.4条5.B【解析】在确定某个图形是否为轴对称图形时，就看其沿某条直线对折之后两边是否能够完全重合，若能完全重合则该直线即为该图形的一条对称轴．因此本题图②中在水平方向上和竖直方向上各有一条对称轴，即共有2条对称轴．命题点2轴对称的相关计算【命题规律】轴对称常用来解决线段和的最小值问题，通过对称性及两点之间线段最短来解题，也是常说的“将军饮马”模型，也常会用到二次函数综合题中求线段和或周长的最小值问题．【命题预测】利用轴对称性解决线段和及周长最小值是常用方法，可与三角形、四边形、圆、二次函数等知识结合，是命题趋势之一．6.如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点．下列判断错误的是()A.AM＝BMB.AP＝BNC.∠MAP＝∠MBPD.∠ANM＝∠BNM6.B【解析】∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，∴AM＝BM，选项A正确；AN＝BN，选项B错误；△AMN≌△BMN，∴∠ANM＝∠BNM，选项D正确；∠AMP＝∠BMP，又∵AM＝BM，MP＝MP，∴△AMP≌△BMP(SAS)，∴∠MAP＝∠MBP，选项C正确．第6题图第7题图7.如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值为________．7.23【解析】如解图，作B点关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，AB′的长即为所求．连接AO并延长交圆O于D，连接DB′，∵B为弧AN的中点，∴AB︵＝BN︵，利用垂径定理得BN︵＝B′N︵，由∠AMN＝40°，MN＝4，得∠ADB′＝60°，AD＝4，∴AB′＝4×sin60°＝4×32＝23.命题点3图形平移的相关计算【命题规律】1.考查内容和形式：①图形的平移变换方法，常与网格作图结合考查；②图形平移的相关计算；2.解决图形平移的关键：平移只改变图形的位置，不改变图形的大小．利用这一性质，平移前和平移后，两个图形全等，对应点的连线平行且相等，从而可以得出平行四边形，并根据平行四边形知识求解．【命题预测】图形的平移是全国命题趋势之一，对平移的性质应做到熟练掌握．8.已知△ABC顶点坐标分别是A(0，6)，B(－3，－3)，C(1，0)，将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是(4，10)，则点B的对应点B1的坐标为()A.(7，1)B.(1，7)C.(1，1)D.(2，1)8.C9.如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是()A.16cmB.18cmC.20cmD.21cm9.C【解析】根据题意，将周长为16cm的△ABE沿边BE向右平移2cm得到△DCF，∴AD＝EF＝2cm，BF＝BE＋EF＝BE＋2，DF＝AE，又∵AB＋BE＋AE＝16cm，∴四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BF＋DF＝AB＋BE＋AE＋EF＋AD＝16＋2＋2＝20cm.第9题图第10题图10.如图，△ABC中，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为________cm.10.2.5【解析】由题意知，射线BC方向是平移方向，D为AC的中点，AB∥A′B′，则B′为BC的中点，所以BB′＝12BC＝2.5cm，∴△ABC平移的距离为2.5cm.命题点4图形旋转的相关证明与计算【命题规律】1.考查内容：①图形的旋转求角度；②与直角坐标系结合求旋转后的点坐标；③图形的旋转求线段长、路径长；④图形的旋转求面积；⑤图形旋转的相关证明；⑥几何图形的旋转操作与探究问题；2.对于旋转问题，需要掌握旋转的三要素，即旋转中心，旋转方向和旋转角，在计算旋转有关的计算题时，首先应找准旋转角(一个图形旋转后，其旋转角不止一个，原图上的每个点和其对应点及旋转中心构成的角就是一个旋转角)，再根据旋转前后图形全等来进行求解，常涉及扇形的有关计算．【命题预测】图形的旋转是全国主流命题趋势之一，尤其是旋转操作探究题值得关注．11.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(－2，5)的对应点A′的坐标是()A.(2，5)B.(5，2)C.(2，－5)D.(5，－2)11.B【解析】如解图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点A′作A′C′⊥x轴于点C′，由旋转性质可知OA⊥OA′，OA＝OA′，∵∠OAC＝∠AOC＝90°，∠AOC＋∠A′OC′＝90°，∴∠OAC＝∠A′OC′，∵∠ACO＝∠A′C′O＝90°，∴△OAC≌△A′OC′(AAS)，∵A(－2，5)，∴OC′＝AC＝5，A′C′＝OC＝|－2|＝2，∴A′(5，2)．第11题图第12题图第13题图12.如图，△ABC中，AB＝6，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为()A.4B.5C.6D.712.B【解析】如解图，∵AF∥BC，∴∠1＝∠2，∵△AEF是由△ABC旋转而来，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵∠B为公共角，∴△ABC∽△DBA，∴ABBC＝BDAB，∴AB2＝BC·BD，即36＝4·BD，∴BD＝9，∴CD＝BD－BC＝9－4＝5.13.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝________度．13.46【解析】根据旋转的性质，得△ABC≌△A′B′C，则∠A′＝∠A＝27°，∠B′＝∠B＝40°，∴∠BCB′＝∠A′＋∠B′＝27°＋40°＝67°，∵∠ACB＝180°－∠B－∠A＝180°－40°－27°＝113°，∴∠ACB′＝∠ACB－∠BCB′＝113°－67°＝46°.14.在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为________．14.(1，－1)【解析】如解图，连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，直线MN和直线EF的交点P即为旋转中心．由解图可得，点P的坐标为(1，－1)．第14题图第15题图15.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝23，将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次，则点C经过的路径长是________．15.5π2【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∴∠A′B′C′＝30°，把△ABC沿着直线CB向右作无滑动滚动一次，点C经过的路线是以点B为圆心，BC长为半径的圆弧，旋转角是150°，易得BC＝AB·sin60°＝23×32＝3，∴点C经过的路径长是150π×3180＝5π2.方法指导注意旋转的性质的运用：旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小(旋转前后图形是全等形)，确定了旋转中心与半径后，注意结合弧长公式计算点C所经过的路线长度．半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝nπR180.16.如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别相交于点E、F.(1)求证：△BCF≌△BA1D；(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状并请说明理由．16.(1)证明：∵△ABC旋转α度得到△A1BC1，∴∠CBF＝∠A1BD,∵△ABC≌△A1BC1且△ABC为等腰三角形，∴BC＝A1B＝BC1,∠C＝∠A1，∴△BCF≌△BA1D(ASA)．(2)解：四边形A1BCE为菱形．理由如下：∵∠C＝α，△ABC为等腰三角形，∴∠C1＝∠A＝α，∴∠CBF＝∠C1，∴A1E∥BC，∵∠A1BD＝∠A，∴A1B∥EC，∴四边形A1BCE为平行四边形，由(1)得BC＝A1B，∴▱A1BCE为菱形.命题点5格点中的作图及其相关计算【命题规律】1.考查形式：利用图形变换在网格中作图，并计算坐标、面积或路径长；2.涉及知识：一般都是与对称、平移、旋转有关；3.考查题型主要为解答题．【命题预测】对称、平移、旋转、网格作图及相关计算是中考的命题趋势之一，且题型常为解答题．17.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2)，C(1，4)均在正方形网格的格点上．(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；(2)将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．17.解：(1)作图，如解图，△A1B1C1即为所求．(2)作图，如解图，△A2B2C2即为所求．A2(－3，－1)，B2(0，－2)，C2(－2，－4)．18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(－1，－1)，B(－3，3)，C(－4，1)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；(2)画出△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．18.(1)【题图分析】△ABC关于y轴对称，各点的纵坐标不变，横坐标变为相反数，分别找出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可，并据此写出点B1的坐标．解：如解图，△A1B1C1即为所求；点B1的坐标为(3，3)．(2)【题图分析】以点A为旋转中心，按逆时针方向分别作∠B2AB＝∠C2AC＝90°，且B2A＝BA，C2A＝CA.再顺次连接B2、A、C2即可．解：如解图，△AB2C2即为所求；点C2的坐标为(－3，－4)．中考冲刺集训一、选择题1.在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是()2.以下图形，对称轴的数量小于3的是()3.下列图形是中心对称图形的是()4.如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是()5.在图形：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；⑤平行四边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是()A.2B.3C.4D.56.下面四个几何体中，其主视图不是中心对称图形的是()7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为()A.10B.22C.3D.25第7题图第8题图8.把一副三角板按如图放置，其中∠ABC＝∠DEB＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AC＝BD＝10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的()A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能二、填空题9.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝________．第9题图第10题图10.如图，在△ACB中，∠BAC＝50°，AC＝2，AB＝3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°，得到△AC1B1，则阴影部分面积为________．11.如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，将