2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数与对数函数教学案含解析理19

第六节对数与对数函数[考纲传真]1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数．1．对数概念如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔logaN＝xloga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaNa＞0，且a≠1，M＞0，N＞0logaMN＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式换底公式：logab＝logcblogca(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)2.对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的性质定义域(0，＋∞)值域R性质单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞03.反函数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．[常用结论]1．换底公式的两个重要结论(1)logab＝1logba；(2)logambn＝nmlogab.其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log2x2＝2log2x.()(2)当x＞1时，logax＞0.()(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．()(4)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，－1，函数图象不在第二、三象限．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．已知a＝2-13，b＝log213，c＝log1213，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．c＞a＞bD[∵0＜a＝2-13＜20＝1，b＝log213＜log21＝0，c＝log1213＞log1212＝1，∴c＞a＞b.]3．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D[由图象可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]4．(教材改编)若loga34＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是()A.0，34B．(1，＋∞)C.0，34∪(1，＋∞)D.34，1C[当0＜a＜1时，loga34＜logaa＝1，∴0＜a＜34；当a＞1时，loga34＜logaa＝1，∴a＞1.即实数a的取值范围是0，34∪(1，＋∞)．]5．计算：2log510＋log514＝________，2log43＝________.23[2log510＋log514＝log5102×14＝2，因为log43＝12log23＝log23，所以2log43＝2log23＝3.]对数式的化简与求值1．(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25＝________.2[原式＝lg2(lg2＋lg50)＋lg25＝2lg2＋2lg5＝2.]2．2log23＋log43＝________.33[原式＝2log23·2log43＝3·2log23＝33.]3．log23·log38＋(3)log34＝________.5[原式＝3log23·log32＋3log32＝3＋2＝5.]4．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.10[∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝10.][规律方法]对数运算的一般思路将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；将同底对数的和、差、倍合并；利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.对数函数的图象及应用【例1】(1)(2019·大连模拟)函数y＝lg|x－1|的图象是()ABCD(2)(2019·厦门模拟)当0＜x≤12时，4x＜logax，则a的取值范围是()A.0，22B.22，1C．(1，2)D．(2，2)(3)函数y＝loga(x－2)＋2恒过定点P，则点P的坐标为________．(1)A(2)B(3)(3,2)[(1)函数y＝lg|x－1|的图象可由函数y＝lg|x|的图象向右平移1个单位得到，故选A.(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，要使0＜x≤12时，4x＜logax，只需f(x)在0，12上的图象在g(x)的图象下方即可．当a＞1时不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数在0，12上的图象，可知只需f12＜g12，即2＜loga12，则a＞22，所以a的取值范围为22，1.(3)由x－2＝1得x＝3，当x＝3时，y＝2，则点P的坐标为(3,2)．][规律方法]对数函数图象的识别及应用在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点与坐标轴的交点、最高点、最低点等排除不符合要求的选项.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为()ABCD(2)函数y＝log2(x＋1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为________．(3)若不等式(x－1)2＜logax在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为________．(1)A(2)(0,0)(3)(1,2][(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x＞0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x＜0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.(2)由x＋1＝1得x＝0，当x＝0时，y＝0，则点P的坐标为(0,0)．(3)设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图所示，要使x∈(1,2)时，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，所以1＜a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]．]对数函数的性质及应用►考法1比较对数值的大小【例2】(1)已知a＝log29－log23，b＝1＋log27，c＝12＋log213，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a(2)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a(1)B(2)A[(1)a＝log29－log23＝log233，b＝1＋log27＝log227，c＝12＋log213＝log226，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且27＞33＞26，所以b＞a＞c，故选B.(2)b＝log23＝12log23＞12，c＝log32＝12log32＜12，则b＞c，又a＝log3π＞log33＝1，b＝log23＜log22＝1，因此a＞b＞c，故选A.►考法2解对数不等式【例3】(1)(2018·江苏高考)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________．(2)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．(1)[2，＋∞)(2)(－1,0)∪(1，＋∞)[(1)由题意知，log2x－1≥0，即log2x≥log22.解得x≥2，即函数f(x)的定义域为[2，＋∞)．(2)由题意，得a＞0，log2a＞－log2a或即a＞0，log2a＞0或a＜0，log2－a＜0，解得a＞1或－1＜a＜0.]►考法3复合函数的单调性、值域或最值【例4】函数f(x)＝log12(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为________，值域为________．(2,5)[2log123，＋∞)[由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得函数f(x)＝log12(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)．又－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9≤9，所以f(x)≥log129＝2log123，即函数f(x)的值域为[2log123，＋∞)．][规律方法]1.比较对数值的大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．2．解对数不等式的类型及方法(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．(2)形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解．3．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤(1)(2018·天津高考)已知a＝log372，b＝1413，c＝log1315，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b(2)设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x＞1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)(3)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为()A．[1,2)B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)(1)D(2)D(3)A[(1)c＝log1315＝log35，则log35＞log372＞log33＝1，又1413＜140＝1，因此c＞a＞b，故选D.(2)当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x＞1时，1－log2x≤2，解得x≥12，所以x＞1.综上可知x≥0.(3)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有g＞0，a≥1，即2－a＞0，a≥1，解得1≤a＜2，即a∈[1,2)．]1．(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则()A．logac＜logbcB．logca＜logcbC．ac＜bcD．ca＞cbB[∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1