2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节三角恒等变换教学案含解析理27

第五节三角恒等变换[考纲传真]1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.[常用结论]1．公式T(α±β)的变形：(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；(2)tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．2．公式C2α的变形：(1)sin2α＝12(1－cos2α)；(2)cos2α＝12(1＋cos2α)．3．公式逆用：(1)sinπ4±α＝cosπ4∓α；(2)sinπ3±α＝cosπ6∓α；(3)sinπ6±α＝cosπ3∓α.4．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanα＝ba)，特别的sinα±cosα＝2sinα±π4；sinα±3cosα＝2sinα±π3；3sinα±cosα＝2sinα±π6.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB的大小关系不确定．()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)函数y＝3sinx＋4cosx的最大值为7.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12D[sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.]3．(教材改编)已知cosα＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α的值为()A.210B．－210C.7210D．－7210A[由cosα＝－35，α是第三象限角知sinα＝－45，则cosπ4＋α＝cosπ4cosα－sinπ4sinα＝22×－35－22×－45＝210.故选A.]4．已知sin(α－π)＝35，则cos2α＝________.725[由sin(α－π)＝35，得sinα＝－35，则cos2α＝1－2sin2α＝1－2×－352＝725.]5．(教材改编)11－tan15°－11＋tan15°＝________.33[11－tan15°－11＋tan15°＝＋－－－＋＝2tan15°1－tan215°＝tan30°＝33.]三角函数式的化简1．已知sinπ6－α＝cosπ6＋α，则tanα＝()A．－1B．0C.12D．1A[因为sinπ6－α＝cosπ6＋α，所以12cosα－32sinα＝32cosα－12sinα.所以1－32cosα＝3－12sinα.所以tanα＝sinαcosα＝－1，故选A.]2．计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为()A．－12B.12C.32D．－32B[sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.]3．已知θ∈0，π4，且sinθ－cosθ＝－144，则2cos2θ－1cosπ4＋θ＝()A.23B.43C.34D.32D[由sinθ－cosθ＝－144得sinπ4－θ＝74，因为θ∈0，π4，所以0＜π4－θ＜π4，所以cosπ4－θ＝34.2cos2θ－1cosπ4＋θ＝cos2θsinπ4－θ＝sinπ2－2θsinπ4－θ＝sin2π4－θsinπ4－θ＝2cosπ4－θ＝32.]4．已知0＜θ＜π，则＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ＝________.－cosθ[原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cosθ2＞0.所以原式＝－cosθ.][规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．三角函数式的求值►考法1给值求值【例1】(1)(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B.79C．－79D．－89(2)(2019·太原模拟)已知角α是锐角，若sinα－π6＝13，则cosα－π3等于()A.26＋16B.3－28C.3＋28D.23－16(3)若α，β是锐角，且sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝12，则tan(α－β)＝________.(1)B(2)A(3)－73[(1)cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.故选B.(2)由0＜α＜π2得－π6＜α－π6＜π3又sinα－π6＝13，∴cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－132＝223∴cosα－π3＝cosα－π6－π6＝cosα－π6cosπ6＋sinα－π6sinπ6＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A.(3)因为sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝12，两式平方相加得：2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝12，即2－2cos(α－β)＝12，所以cos(α－β)＝34，因为α、β是锐角，且sinα－sinβ＝－12＜0，所以0＜α＜β＜π2.所以－π2＜α－β＜0.所以sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－74.所以tan(α－β)＝sinα－βcosα－β＝－73.]►考法2给角求值【例2】(1)tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.(2)sin50°(1＋3tan10°)＝________.(1)3(2)1[(1)由tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°＝3得tan20°＋tan40°＝3(1－tan20°tan40°)∴原式＝3(1－tan20°tan40°)＋3tan20°tan40°＝3.(2)sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°1＋3·sin10°cos10°＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×212cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°·cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.]►考法3给值求角【例3】(1)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________．(1)A(2)－3π4[(1)∵α∈π4，π，∴2α∈π2，2π.又sin2α＝55＞0，∴2α∈π2，π，∴cos2α＝－255且α∈π4，π2.又β∈π，3π2，∴β－α∈π2，5π4.∵sin(β－α)＝1010＞0，∴cos(β－α)＝－31010且β－α∈π2，π，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×－31010－55×1010＝22.∵2α∈π2，π，β－α∈π2，π，∴α＋β∈[]π，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.(2)因为tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13＞0，所以0＜α＜π2，又因为tan2α＝2tanα1－tan2α＝＝34＞0，所以0＜2α＜π2，所以tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.因为tanβ＝－17＜0，所以π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.][规律方法]三角函数求值的三种情况给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解.“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.(1)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝()A.539B．－69C.33D．－33(2)1－cos210°cos80°1－cos20°＝________.(3)(2019·长春模拟)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β值是________．(1)A(2)22(3)π4[(1)由0＜α＜π2得π4＜π4＋α＜3π4，又cosπ4＋α＝13，∴sinπ4＋α＝223，由－π2＜β＜0得π4＜π4－β2＜π2.又cosπ4－β2＝33，∴sinπ4－β2＝63.∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.(2)原式＝sin210°cos80°2sin210°＝sin210°2sin210°＝22.(3)∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sinα＝55，∴cosα＝255，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×－1010＝22.∴β＝π4.]三角恒等变换的综合应用【例4】(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(