2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值教学案含解析理15

第二节函数的单调性与最值[考纲传真]1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．(对应学生用书第11页)1．增函数、减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值[常用结论]函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，fx1－fx2x1－x2＞0⇔f(x)在D上是增函数，fx1－fx2x1－x2＜0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋ax(a＞0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，a]．(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0，则函数f(x)在区间D上是增函数．()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(3)函数y＝|x|是R上的增函数．()(4)函数y＝x2－2x在区间[3，＋∞)上是增函数，则函数y＝x2－2x的单调递增区间为[3，＋∞)．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]上的图象，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数B．f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与y＝f(x)的图象有三个交点时－1＜t＜2C[由图象知，函数f(x)在[－4,1]上有最小值－2，最大值3，故选C.]3．(教材改编)已知函数f(x)＝2x－1，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．225[可判断函数f(x)＝2x－1在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25.]4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．－∞，－12[由题意知2k＋1＜0，得k＜－12.]5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________.[1,3]8[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.](对应学生用书第12页)确定函数的单调性(区间)【例1】(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)D[由x2－2x－80，得x4或x－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt在t∈(0，＋∞)上为增函数．欲求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.](2)试讨论函数f(x)＝x＋kx(k＞0)的单调性．[解]法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝x2＋kx2－x1＋kx1＝(x2－x1)＋k1x2－1x1＝(x2－x1)·x1x2－kx1x2.因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.故当x1，x2∈(k，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)，即函数在(k，＋∞)上单调递增．当x1，x2∈(0，k)时，f(x1)＞f(x2)，即函数在(0，k)上单调递减．考虑到函数f(x)＝x＋kx(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k)上单调递增，在(－k，0)上单调递减．综上，函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减．法二：f′(x)＝1－kx2.令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－k)或x∈(k，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞)．令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－k，0)或x∈(0，k)，故函数的单调减区间为(－k，0)和(0，k)．故函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减．[规律方法]1.确定函数单调性的4种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)复合函数法．对于函数y＝f(g(x))，先确定y＝f(v)，v＝g(x)的单调性，再利用“同增异减”的原则确定y＝f(g(x))的单调性．易错警示：确定函数的单调性(区间)，应先求定义域，在定义域内确定单调性(区间)．2．熟记函数单调性的4个常用结论(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1fx的单调性相反；(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝fx的单调性相同．(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)(2)(2019·郑州模拟)函数y＝132x2－3x＋1的单调递增区间为()A．(1，＋∞)B.－∞，34C.12，＋∞D.34，＋∞(1)B(2)B[(1)设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．(2)令t＝2x2－3x＋1，则t＝2x－342－18.又函数y＝13t是减函数，因此函数y＝132x2－3x＋1的单调递增区间为－∞，34.故选B.](3)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．[解]法一：设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝ax2－x1x1－x2－，由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．法二：f′(x)＝ax－－axx－2＝－ax－2，所以当a＞0时，f′(x)＜0，当a＜0时，f′(x)＞0，即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为单调减函数，当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为单调增函数．利用函数的单调性求最值(值域)1．函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．3[函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，则f(x)max＝f(－1)＝13-1－log21＝3.]2．函数f(x)＝3x－1x＋2，x∈[－5，－3]的值域为________．163，10[f(x)＝3x－1x＋2＝x＋－7x＋2＝3－7x＋2，则函数f(x)在区间[－5，－3]上是增函数．所以f(x)max＝f(－3)＝3－7－3＋2＝10，f(x)min＝f(－5)＝3－7－5＋2＝163.因此函数f(x)的值域为163，10.]3．函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x＜1的最大值为________．2[当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.][规律方法]求函数值域的几个常见类型若所给函数能够判断单调性，可直接利用单调性求解.形如求函数的值域或最值，可先将函数解析式变为的形式，再用单调性求解.分段函数的最值，先求每一个子区间上的最值，则各个区间上最大值中的最大者为分段函数的最大值，各个区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.求复合函数y＝fgx的值域，可先求gx的值域，再求y＝fgx的值域.,特别地：若函数解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等或函数图象易作出，可用数形结合法求解.函数单调性的应用►考法1比较函数值的大小【例2】已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞cD[因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f－12＝f52.由x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1＜2＜52＜3，所以f(2)＞f52＞f(3)，所以b＞a＞c.]►考法2解函数不等式【例3】(2019·青岛模拟)已知函数f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1,1)，则满足f(a2－1)＋f(a－1)＞0的a的取值范围是()A．(0,2)B．(1，2)C．(1,2)D．(0，2)B[由题意知f(－x)＝(－x)3＋sin(－x)＝－x3－sinx＝－(x3＋sinx)＝－f(x)，x∈(－1,1)，∴f(x)在区间(－1,1)上是奇函数．又f′(x)＝3x2＋cosx＞0，∴f(x)在区间(－1,1)上单调递增，∵f(a2－1)＋f(a－1)＞0，∴－f(a－1)＜f(a2－1)，∴f(1－a)＜f(a2－1)，∴－1＜1－a＜1，－1＜a2－1＜1，1－a＜a2－1，解得1＜a＜2，故选B.]►考法3求参数的值或取值范围【例4】(1)若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A.－14，＋∞B.－14，＋∞C.－14，0D.－14，0(2)已知函数f(x)＝a－x－1，x≤1，logax，x＞1，若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为__