2020版高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教学案含解析理35

第二节等差数列及其前n项和[考纲传真]1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－d2＝na1＋an2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}和{a2n＋1}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(7)等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.[常用结论]1．等差数列前n项和的最值在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小．2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则有anbn＝S2n－1T2n－1.3．等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Snn也是等差数列．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)等差数列11,8,5，…，中－49是它的第几项()A．第19项B．第20项C．第21项D．第22项C[由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14＝－49得n＝21，故选C.]3．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于()A．－1B．0C．1D．6B[a2，a4，a6成等差数列，则a6＝0，故选B.]4．小于20的所有正奇数的和为________．100[小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的和S10＝＋12＝100.]5．(教材改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.－1[由S2＝S6得a3＋a4＋a5＋a6＝0，即a4＋a5＝0，又a4＝1，则a5＝－1.]等差数列基本量的运算1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a18＝54，S19＝437，则a2018的值是()A．4039B．4038C．2019D．2038A[设等差数列{an}的公差为d，由题意可知2a1＋22d＝54，19a1＋171d＝437，解得a1＝5，d＝2，所以a2018＝5＋2017×2＝4039，故选A.]2．(2019·武汉模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于()A．－1B．－2C．－3D．－4C[由题意知a1＋a7＝2a1＋6d＝－8，a2＝a1＋d＝2.解得d＝－3，a1＝5，故选C.]3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为()A．18B．20C．21D．25C[用an表示第n天织布的尺数，由题意知，数列{an}是首项为5，项数为30的等差数列．所以a1＋a302＝390，即＋a302＝390，解得a30＝21，故选C.]4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.－72[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，得a12＝a1＋11d＝－8，S9＝9a1＋9×82d＝－9，解得a1＝3，d＝－1.∴S16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.][规律方法]等差数列运算问题的通性通法等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程组求解.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.等差数列的判定与证明【例1】已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．[解](1)证明：因为an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝1an＋1－1－1an－1＝12－1an－1－1an－1＝anan－1－1an－1＝1.又b1＝1a1－1＝－52.所以数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7.设f(x)＝1＋22x－7，则f(x)在区间－∞，72和72，＋∞上为减函数．所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.[拓展探究]本例中，若将条件变为a1＝35，nan＋1＝(n＋1)·an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式．[解]由已知可得an＋1n＋1＝ann＋1，即an＋1n＋1－ann＝1，又a1＝35，∴ann是以a11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴ann＝35＋(n－1)·1＝n－25，∴an＝n2－25n.[规律方法]等差数列的四个判定方法定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列.通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列.前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.(2019·贵州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)证明数列ann是等差数列，并求{an}的通项公式．[解](1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得nan＋1－n＋annn＋＝2，即an＋1n＋1－ann＝2，所以数列ann是首项为a11＝1，公差d＝2的等差数列．则ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.等差数列性质的应用►考法1等差数列项的性质的应用【例2】(1)(2019·长沙模拟)数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5等于()A．9B．10C．11D．12(2)(2019·银川模拟)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为()A．8B．12C．6D．4(1)D(2)A[(1)数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则数列{an}是等差数列，利用等差数列的性质可知，a3＋a4＋a5＝a2＋a4＋a6＝12.(2)由a3＋a6＋a10＋a13＝32得4a8＝32，即a8＝8.又d≠0，所以等差数列{an}是单调数列，由am＝8，知m＝8，故选A.]►考法2等差数列前n项和的性质【例3】(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，S20142014－S20082008＝6，则S2019＝________.(1)B(2)8076[(1)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45，故选B.(2)由等差数列的性质可得Snn也为等差数列．设其公差为d，则S20142014－S20082008＝6d＝6，∴d＝1.故S20192019＝S11＋2018d＝－2014＋2018＝4，∴S2019＝8076.][规律方法]应用等差数列的性质应注意两点在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2km、n、p、q、k∈N*，则am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性质.掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝10，S2m－1＝110，则m＝________.(3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn＝3n－22n＋1，则a7b7＝________.(1)60(2)6(3)3727[(1)由题意知，S10，S20－S10，S30－S20成等差数列．则2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，即40＝10＋(S30－30)，解得S30＝60.(2)S2m－1＝m－a1＋a2m－12＝m－am2＝110，解得m＝6.(3)a7b7＝2a72b7＝a1＋a13b1＋b13＝132a1＋a13132b1＋b13＝S13T13＝3×13－22×13＋1＝3727.]等差数列的前n项和及其最值【例4】(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是()A．5B．6C．7D．8C[(1)法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时，Sn最大．法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．法三：根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n＝3＋112＝7时，Sn取得最大值．](2)已知等差数列{an}的前三项和为－3，前三项的积为8.①求等差数列{an}的通项公式；②若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和Tn.[解]①设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由题意得3a1＋3d＝－3，a1a1＋da1＋2d