2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题教学案

第3课时定点、定值、探索性问题定点问题【例1】(2019·开封第一次质量预测)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切．(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．[解](1)由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p＝2.∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y.(2)证明：由题知，直线l的斜率存在，∴设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x2，y2)，联立x2＝4y，y＝kx－2，得x2－4kx＋8＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝8.kAC＝y1－y2x1＋x2＝x214－x224x1＋x2＝x1－x24，则直线AC的方程为y－y1＝x1－x24(x－x1)，即y＝y1＋x1－x24(x－x1)＝x1－x24x－x1x1－x24＋x214＝x1－x24x＋x1x24.∵x1x2＝8，∴y＝x1－x24x＋x1x24＝x1－x24x＋2，故直线AC恒过定点(0,2)．[规律方法]圆锥曲线中定点问题的两种解法已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－12，求证：直线AB过x轴上一定点．[解](1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设At24，t，Bt24，－t.因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以tt24·－tt24＝－12，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组y2＝4x，y＝kx＋b消去x，得ky2－4y＋4b＝0.由根与系数的关系得yAyB＝4bk，因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以yAxA·yBxB＝－12，即xAxB＋2yAyB＝0，即y2A4·y2B4＋2yAyB＝0，解得yAyB＝－32或yAyB＝0(舍去)．所以yAyB＝4bk＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．综上所述，直线AB过定点(8,0)．定值问题【例2】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1，过点A(2,0)，B(0,1)两点．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．[解](1)由椭圆过点A(2,0)，B(0,1)知a＝2，b＝1.所以椭圆方程为x24＋y2＝1，又c＝a2－b2＝3.所以椭圆离心率e＝ca＝32.(2)证明：设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x20＋4y20＝4，由B点坐标(0,1)得直线PB方程为：y－1＝y0－1x0(x－0)，令y＝0，得xN＝x01－y0，从而|AN|＝2－xN＝2＋x0y0－1，由A点坐标(2,0)得直线PA方程为y－0＝y0x0－2(x－2)，令x＝0，得yM＝2y02－x0，从而|BM|＝1－yM＝1＋2y0x0－2，所以S四边形ABNM＝12|AN|·|BM|＝12(2＋x0y0－1)(1＋2y0x0－2)＝x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4x0y0－x0－2y0＋＝2x0y0－2x0－4y0＋4x0y0－x0－2y0＋2＝2.即四边形ABNM的面积为定值2.[规律方法]求定值问题的常用方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．[解](1)由题意有a2－b2a＝22，4a2＋2b2＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为x28＋y24＝1.(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入x28＋y24＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝x1＋x22＝－2kb2k2＋1，yM＝k·xM＋b＝b2k2＋1.于是直线OM的斜率kOM＝yMxM＝－12k，即kOM·k＝－12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．探索性问题【例3】如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率是22，点P(0,1)在短轴CD上，且PC→·PD→＝－1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得OA→·OB→＋λPA→·PB→为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．[解](1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．又点P的坐标为(0,1)，且PC→·PD→＝－1，于是1－b2＝－1，ca＝22，a2－b2＝c2.解得a＝2，b＝2.所以椭圆E的方程为x24＋y22＝1.(2)①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．联立x24＋y22＝1，y＝kx＋1得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)0，所以x1＋x2＝－4k2k2＋1，x1x2＝－22k2＋1.从而，OA→·OB→＋λPA→·PB→＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－2λ－k2＋－2λ－2k2＋1＝－λ－12k2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k2＋1－λ－2＝－3.此时OA→·OB→＋λOA→·PB→＝－3为定值．②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时OA→·OB→＋λPA→·PB→＝OC→·OD→＋PC→·PD→＝－2－1＝－3，故存在常数λ＝1，使得OA→·OB→＋λPA→·PB→为定值－3.[规律方法]解决探索性问题的注意事项,探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．[解](1)依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2.a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的方程为x216＋y212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，解得－43≤t≤43.另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l不存在.(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[解](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP→＝(x－x0，y)，NM→＝(0，y0)．由NP→＝2NM→得x0＝x，y0＝22y.因为M(x0，y0)在C上，所以x22＋y22＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ→＝(－3，t)，PF→＝(－1－m，－n)，OQ→·PF→＝3＋3m－tn，OP→＝(m，n)，PQ→＝(－3－m，t－n)．由OP→·PQ→＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1.又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ→·PF→＝0，即OQ→⊥PF→.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________