2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式教学案含解析理

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[考纲传真]1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tan_α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限[常用结论]同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)．(3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)．(4)sinα＝tanαcosα.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα等于()A．－513B．－1213C.513D.1213B[∵sinα＝513，α是第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－1213.]3．sin750°＝________.12[sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12.]4．已知sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则sin(π＋α)＝________.－45[因为sinπ2＋α＝cosα＝35，α∈0，π2，所以sinα＝1－cos2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－45.]5．(教材改编)已知tanα＝2，则3sinα－2cosα3sinα＋2cosα的值为________．12[3sinα－2cosα3sinα＋2cosα＝3tanα－23tanα＋2＝3×2－23×2＋2＝12.]同角三角函数关系的应用1．若α是三角形的内角，且tanα＝－13，则sinα＋cosα的值为()A.105B.2105C．－105D．－2105C[由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1，∴cos2α＝910，易知cosα＜0，∴cosα＝－31010，sinα＝1010，故sinα＋cosα＝－105.]2．(2019·合肥模拟)已知tanα＝－34，则sinα(sinα－cosα)＝()A.2125B.2521C.45D.54A[sinα(sinα－cosα)＝sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1，将tanα＝－34代入，得原式＝＝2125，故选A.]3．已知sinαcosα＝18，且5π4＜α＜3π2，则cosα－sinα的值为()A．－32B.32C．－34D.34B[∵5π4＜α＜3π2，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝32，故选B.]4．已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为()A.23B．－23C.12D．－12B[因为(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＝1＋2sinθcosθ＝169，所以2sinθcosθ＝79，则(sinθ－cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθ·cosθ＝1－2sinθcosθ＝29.又因为θ∈0，π4，所以sinθ＜cosθ，即sinθ－cosθ＜0，所以sinθ－cosθ＝－23，故选B.][规律方法]同角三角函数关系式及变形公式的应用方法利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用α±cosα2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.诱导公式的应用【例1】(1)sin(－1200°)cos1290°＝________.(2)已知cosπ6－θ＝a，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝________.(3)已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．(1)34(2)0(3){2，－2}[(1)原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)＝sin60°cos30°＝32×32＝34.(2)cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a，sin2π3－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a∴cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝－a＋a＝0.(3)当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2，因此A的值构成的集合为{2，－2}.][规律方法]1.诱导公式用法的一般思路(1)化负为正，化大为小，化到锐角为止．(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．2．常见的互余和互补的角(1)常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．(2)常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．3．三角函数式化简的方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．(1)已知α∈π2，π，且cosα＝－513，则tanα＋π2α＋＝()A.1213B．－1213C.1312D．－1312(2)已知sinα＋π3＝1213，则cosπ6－α＝________.(1)C(2)1213[(1)tanα＋π2cos()α＋π＝sinα＋π2cosα＋π2α＋＝cosαsinαcosα＝1sinα，又α∈π2，π，cosα＝－513，则sinα＝1213，从而tanα＋π2α＋＝1sinα＝1312，故选C.(2)因为α＋π3＋π6－α＝π2.所以cosπ6－α＝cosπ2－α＋π3＝sinα＋π3＝1213.]同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用【例2】(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.(2)已知cosπ2＋α＝2sinα－π2，则sin3－α＋α＋5cos5π2－α＋3sin7π2－α的值为________．(1)－43(2)335[(1)由题意知sinθ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cosθ＋π4＞0，所以cosθ＋π4＝1－sin2θ＋π4＝45.sinπ4－θ＝sinπ2－θ－π4＝cosπ4＋θ＝45，cosπ4－θ＝cosπ2－θ－π4＝sinπ4＋θ＝35.∴tanθ－π4＝－tanπ4－θ＝－43.(2)∵cosπ2＋α＝2sinα－π2，∴－sinα＝－2cosα，则sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝15.sin3－α＋cosα＋5cos52π－α＋3sin72π－α＝sin3α－cosα5sinα－3cosα＝8cos3α－cosα7cosα＝87cos2α－17＝335.][规律方法]化简三角函数式的基本思路和要求基本思路①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式.化简要求：①化简过程是恒等变形；②结构要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.(1)(2019·唐山模拟)已知sin5π2＋α＝35，那么tanα的值为()A．－43B．－34C．±43D．±34(2)设f(α)＝＋α－α－＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.(1)C(2)3[sin5π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα＝35，则sinα＝±45，所以tanα＝sinαcosα＝±43，故选C.(2)因为f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα＋2sinαsinα＋2sinα＝1tanα，所以f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A．－79B．－29C.29D.79A[∵sinα－cosα＝43，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝169，∴sin2α＝－79.故选A.]2．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－13，则cos2θ＝()A．－45B．－15C.15D.45D[∵cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ又∵tanθ＝－13，∴cos2θ＝1－191＋19＝45.]3．(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C．1D.1625A[因为tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαcosαsin2α＋cos2α＝1＋4tanαtan2α＋1＝＝6425.故选A.]自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________