人教版九年级数学中考总复习等腰三角形与等边三角形课件26张共26张PPT

第一部分教材梳理第4节等腰三角形与等边三角形第四章图形的认识（一）知识梳理概念定理1.等腰三角形（1）定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）性质①性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）.②推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（简称：三线合一）.（3）其他性质①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°.②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则________.④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，则∠A=_____________，∠B=∠C=________________.180°-2∠B（4）判定①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形.②判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）.2.等边三角形（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形.（2）性质①性质定理：等边三角形的三个内角都相等____，并且每个角都等于60°.②等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质，它的每一个内角的角平分线都与其对边的中线和高线重合.（3）判定①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形.②判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.③判定定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.方法规律中考考点精讲精练考点等腰三角形、等边三角形的性质和判定考点精讲【例1】（2016滨州）如图1-4-4-1，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°思路点拨：根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，最后根据平角的定义即可求出∠CDE的度数.答案：D【例2】（2016内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）思路点拨：作出图形（如图1-4-4-2），根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解.考题再现1.（2016泰安）如图1-4-4-3，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A.44°B.66°C.88°D.92°2.（2015南宁）如图1-4-4-4，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A.35°B.40°C.45°D.50°DA3.（2015泉州）如图1-4-4-5，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=________.30°4.（2015北京）如图1-4-4-6，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD.证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC,∠CAD=∠BAD.又∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°.∴∠CBE=∠BAD.考点演练5.已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是（）A.x＞12B.x＜6C.6＜x＜12D.0＜x＜12C6.如图1-4-4-7，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长.解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°.∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°.∴∠F=90°-∠EDC=30°.（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2.∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4.7.如图1-4-4-8，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE.（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数.（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.在△DBE和△ECF中,∴△DBE≌△ECF.∴DE=EF.∴△DEF是等腰三角形.（2）解：∵△DBE≌△ECF，∴∠BDE=∠CEF,∠DEB=∠EFC.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=×（180°-40°）=70°.∴∠BDE+∠DEB=110°.∴∠FEC+∠DEB=110°.∴∠DEF=180°-110°=70°.考点点拨：本考点的题型不固定，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于掌握等腰三角形、等边三角形的性质和判定定理（相关要点详见“知识梳理”部分）.注意以下要点：等腰三角形和等边三角形属于特殊的三角形，在广东中考中单独出题考查的情况虽然不多，但这两种图形常与其他几何图形，如（特殊的）平行四边形、圆等结合进行综合考查，题目非常灵活，熟练掌握等腰三角形、等边三角形的有关概念和定理并加以灵活运用对解题非常关键，备考时需多加留意.课堂巩固训练1.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（）A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④2.（2016安顺）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对DB3.（2016邵阳）如图1-4-4-9所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A.AC＞BCB.AC=BCC.∠A＞∠ABCD.∠A=∠ABC4.如图1-4-4-10，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A.40°B.45°C.60°D.70°AA5.在平面直角坐标系中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（）A.5个B.4个C.3个D.2个B6.如图1-4-4-11，△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，DF经过点E，分别与AB，AC相交于点D，F，且DF∥BC.（1）求证：△DEB是等腰三角形；（2）求证：DF-BD=CF.证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE.∵DF∥BC，∴∠DEB=∠CBE.∴∠ABE=∠DEB.∴BD=DE.∴△DEB是等腰三角形.（2）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE.∵DF∥BC，∴∠FEC=∠BCE.∴∠ACE=∠FEC.∴EF=CF.∵BD=DE，∴DF-BD=CF.7.（2016菏泽）如图1-4-4-12，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.（1）求证：AD=BE；（2）求∠AEB的度数.（1）证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE.∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC.∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°-∠CDE=130°.∴∠BEC=130°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.8.已知：如图1-4-4-13，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点.（1）求证：AD=BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形.解：（1）∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°.∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD.∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC.∵△DCE是等边三角形，∴∠CED=∠CDE=60°.∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠ADC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°.∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°.（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC.又∵点M，N分别是线段AD，BE的中点，在△ACM和△BCN中，AC=BC,∴△ACM≌△BCN.∴CM=CN，∠ACM=∠BCN.又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°.∴∠BCN+∠MCB=60°.∴∠MCN=60°.∴△MNC是等边三角形.