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第27课时与圆有关的位置关系考点一点和圆的位置关系考点聚焦如果圆的半径是r,点到圆心的距离是d,那么点在圆外⇔①点在圆上⇔②点在圆内⇔③d=rdrdr考点二直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交几何图形交点个数012d与r的大小关系d④rd⑤rd⑥r=考点三切线的性质与判定切线的性质圆的切线⑦过切点的半径推论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过⑧(2)经过切点且垂直于切线的直线必过⑨切线的判定(1)和圆只有⑩公共点的直线是圆的切线(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的⑪,那么这条直线是圆的切线(3)经过半径的外端并且⑫这条半径的直线是圆的切线常添辅助线连接圆心和切点切点垂直于圆心一个半径垂直于证圆的切线的技巧:(1)有公共点,连半径,证垂直;(2)无公共点,作垂直,证半径.考点四切线长与切线长定理切线长经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长⑬,这一点和圆心的连线⑭两条切线的夹角基本图形如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,AB交PO于点C,则有如下结论:(1)PA=PB;(2)∠APO=∠BPO=∠OAC=∠OBC,∠AOP=∠BOP=∠CAP=∠CBP相等平分考点五三角形的外接圆与内切圆外接圆内切圆图形定义经过三角形的三个顶点的圆与三角形各边都相切的圆圆心O外心(三角形三条边的⑮的交点)内心(三角形三个内角的⑯的交点)性质三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形的三条边的距离相等垂直平分线角平分线(续表)外接圆内切圆画法作三角形任意两边的垂直平分线,其交点即为圆心O,以圆心O到任一顶点的距离为半径作☉O即可作三角形任意两角的平分线,其交点即为圆心O,过点O作任一边的垂线段作为半径,作☉O即可图27-1与三角形内切圆有关的结论☉I内切于△ABC,切点分别为D,E,F,如图27-1,则:(1)∠BIC=90°+12∠A;(2)△ABC的三边长分别为a,b,c,☉I的半径为r,则有S△ABC=12r(a+b+c);(3)(选学)△ABC中,若∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆半径r=𝑎+𝑏-𝑐2.题组一教材题对点演练1.[九上P96练习改编]圆的直径是13cm,如果圆心与直线的距离分别是:(1)4.5cm;(2)6.5cm;(3)8cm,那么直线和圆的位置关系分别是、、.相切相交相离2.[九上P101习题24.2第6题改编]如图27-2,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,∠BAC=25°,则∠P的度数是.图27-2[答案]50°[解析]∵PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA.∵∠BAC=25°,∠OAP=90°,∴∠PAB=90°-25°=65°,∴∠P=180°-65°-65°=50°.[答案]10[解析]∵AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G三点,∴∠CBO=12∠ABC,∠BCO=12∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠CBO+∠BCO=12∠ABC+12∠DCB=12(∠ABC+∠DCB)=90°,∴∠O=90°.在Rt△BOC中,由勾股定理,得BC=𝑂𝐵2+𝑂𝐶2=62+82=10(cm).3.[九上P102习题24.2第11题改编]如图27-3,AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G三点,且AB∥CD,BO=6cm,CO=8cm,则BC=cm.图27-34.[九上P98练习第1题]如图27-4,AB是☉O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.求证:AT是☉O的切线.图27-4证明:∵AT=AB,∠ABT=45°,∴∠ATB=∠ABT=45°,∴∠BAT=180°-45°-45°=90°,即BA⊥AT.又∵AB是☉O的直径,∴AT是☉O的切线.【失分点】定义法判定直线和圆的位置关系和d,r比较法判定直线和圆的位置关系相互混淆;切线长定理掌握得一知半解,导致做题过程复杂;混淆三角形的内心与外心.题组二易错题5.如图27-5,已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与☉O相切的是()A.OP=5B.OE=OFC.O到直线EF的距离是4D.OP⊥EFD图27-56.点P是圆O外一点,过点P作圆O的切线,切点分别为A和B,写出由切线长定理能够直接得到的结论:.7.已知在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点O为△ABC的内心,则OC=.AP=BP,∠APO=∠BPO𝟐考向一直线和圆的位置关系的判定例1在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CP,CM分别是AB上的高和中线,如果圆A是以点A为圆心,半径长为2的圆,那么下列判断正确的是()A.点P,M均在圆A内B.点P,M均在圆AC.点P在圆A内,点M在圆A外D.点P在圆A外,点M在圆A内[答案]C[解析]∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=5,∵CP,CM分别是AB上的高和中线,∴12AB·CP=12AC·BC,AM=12AB=2.5,∴CP=125,∴AP=𝐴𝐶2-𝐶𝑃2=1.8,∵AP=1.82,AM=2.52,∴点P在圆A内,点M在圆A外.|考向精练|如图27-6,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为()A.22r≤17B.17r≤32C.17r5D.5r29图27-6[答案]B[解析]给各点标上字母,如图所示.由勾股定理可得:AB=22+22=22,AC=AD=42+12=17,AE=32+32=32,AF=52+22=29,AG=AM=AN=42+32=5,∴17r≤32时,以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内.故选B.例2[2018·天水]如图27-7所示,AB是☉O的直径,点P是AB延长线上的一点,过点P作☉O的切线,切点为C,连接AC,BC.(1)求证:∠BAC=∠BCP.(2)若点P在AB的延长线上运动,∠CPA的平分线交AC于点D,你认为∠CDP的大小是否会发生变化?若变化,请说明理由;若没有变化,求出∠CDP的大小.考向二圆的切线的性质图27-7解:(1)证明:连接CO.∵PC是☉O的切线,∴PC⊥CO,即∠OCP=90°,∴∠PCB+∠BCO=90°,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCO=90°,∴∠ACO=∠PCB,∵AO=CO,∴∠ACO=∠CAO,∴∠PCB=∠CAO,即∠BAC=∠BCP.例2[2018·天水]如图27-7所示,AB是☉O的直径,点P是AB延长线上的一点,过点P作☉O的切线,切点为C,连接AC,BC.(2)若点P在AB的延长线上运动,∠CPA的平分线交AC于点D,你认为∠CDP的大小是否会发生变化?若变化,请说明理由;若没有变化,求出∠CDP的大小.图27-7(2)∠CDP的大小不发生变化,理由如下:∵∠CDP=∠A+∠APD,∠BOC=2∠A,∠CPO=2∠APD,∠PCO=90°,∴∠CDP=12∠BOC+12∠CPO=12(∠BOC+∠CPO)=12×90°=45°.【方法点析】“圆的切线垂直于过切点的半径”,所以连接切点和圆心是构成直角三角形进行证明和计算的常用方法.|考向精练|1.[2019·无锡]如图27-8,PA是☉O的切线,切点为A,PO的延长线交☉O于点B,若∠P=40°,则∠B的度数为()A.20°B.25°C.40°D.50°图27-8[答案]B[解析]连接OA.∵PA是☉O的切线,切点为A,∴OA⊥AP,∴∠OAP=90°,∵∠APB=40°,∴∠AOP=50°.∵OA=OB,∴∠B=∠OAB=12∠AOP=25°.故选B.2.[2019·甘肃]如图27-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的☉O交AB于点D,切线DE交AC于点E.(1)求证:∠A=∠ADE;(2)若AD=8,DE=5,求BC的长.图27-9解:(1)证明:连接OD,∵DE是☉O的切线,D是☉O上一点,∴∠ODE=90°,∴∠ADE+∠BDO=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∵OD=OB,∴∠B=∠BDO,∴∠ADE=∠A.2.[2019·甘肃]如图27-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的☉O交AB于点D,切线DE交AC于点E.(2)若AD=8,DE=5,求BC的长.图27-9(2)连接CD.∵∠ADE=∠A,∴AE=DE.∵BC是☉O的直径,∠ACB=90°,∴EC是☉O的切线,∴ED=EC,∴AE=EC.∵DE=5,∴AC=2DE=10.在Rt△ADC中,DC=𝐴𝐶2-𝐴𝐷2=6.设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+62,在Rt△ABC中,BC2=(x+8)2-102,∴x2+62=(x+8)2-102,解得x=92,∴BC=62+(92)2=152.例3[2019·淮安]如图27-10,AB是☉O的直径,AC与☉O交于点F,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足为E.(1)试判断直线DE与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若☉O的半径为2,∠BAC=60°,求线段EF的长.考向三圆的切线的判定图27-10解:(1)直线DE与☉O相切.理由如下:如图所示,连接OD,则OA=OD,∴∠ODA=∠BAD.∵弦AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠BAD,∴∠FAD=∠ODA,∴OD∥AF.又∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,∵OD是☉O的半径,∴直线DE与☉O相切.例3[2019·淮安]如图27-10,AB是☉O的直径,AC与☉O交于点F,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足为E.(2)若☉O的半径为2,∠BAC=60°,求线段EF的长.图27-10(2)连接BD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,∴∠FAD=∠BAD=30°,∠B=60°,∴∠DFE=∠B=60°.∵☉O的半径为2,∴AB=4,∴AD=AB·cos∠BAD=4×32=23,∴DE=AD·sin∠FAD=23×12=3,∴EF=𝐷𝐸tan∠𝐷𝐹𝐸=𝐷𝐸tan60°=33=1.|考向精练|1.[2019·陇南]如图27-11,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在BC边上,☉D经过点A和点B且与BC边相交于点E.(1)求证:AC是☉D的切线;(2)若CE=23,求☉D的半径.图27-11解:(1)证明:连接AD,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=30°,∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°,∴AC是☉D的切线.1.[2019·陇南]如图27-11,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在BC边上,☉D经过点A和点B且与BC边相交于点E.(2)若CE=23,求☉D的半径.图27-11(2)连接AE,∵AD=DE,∠ADE=2∠B=60°,∴△ADE是等边三角形,∴AE=DE,∠AED=60°,∴∠EAC=∠AED-∠C=30°,∴∠EAC=∠C,∴AE=CE=23,∴☉D的半径AD=23.2.[2019·遵义]如图27-12,AB是☉O的直径,弦AC与BD交于点E,且AC=BD,连接AD,BC.(1)求证:△ADB≌△BCA;(2)若OD⊥AC,AB=4,求弦AC的长;(3)在(2)的条件下,延长AB至点P,使BP=2,连接PC,求证:PC是☉O的切线.图27-12解:(1)证明:∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,∴△ADB和△BCA都是直角三角形.∵AC=BD,AB=AB,∴Rt△ADB≌Rt△BCA(HL).(2)设OD与AC的交点为F.∵OD⊥AC,∴AF=CF,𝐴𝐷=𝐷𝐶,∴∠DAC=∠DBA.
本文标题:2020中考数学一轮复习第27课时与圆有关的位置关系
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