高中数学第一章集合11集合的含义及其表示优化训练苏教版必修1

1.1集合的含义及其表示5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.试用适当的方法表示下列集合.（1）24的正约数；（2）数轴上与原点的距离小于1的所有点；（3）平面直角坐标系中，Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线上的所有点；（4）所有非零偶数；（5）所有被3除余数是1的数.思路解析：用列举法或描述法表示集合.无限集一般用描述法表示；当有限集中的元素个数不多便于枚举时，采用列举法表示.答案：（1）{1，2，3，4，6，8，12，24}；（2）{x||x|＜1}；（3）{（x，y）|y=x}；（4）{x|x=2k，k∈Z，k≠0}或{x|2x∈Z且x≠0}；（5）{x|x=3k+1，k∈Z}.2.用符号∈或填空.(1)3.14__________Q，0__________N，2__________Z，(-1)0__________N；(2)23__________{x|x11}，32__________｛x｜x＞4｝，2+5_________｛x｜x≤2+3｝；(3)3___________｛x｜x＝n2+1，n∈N｝，5___________｛x｜x＝n2+1，n∈N｝；(4)(-1，1)___________｛y｜y＝x2｝,(-1,1)_____________｛(x,y)｜y＝x2｝.思路分析:理解符号的意义，正确判断元素与集合之间的关系.解:(1)∈∈∈(空集不含任何元素)(2)23＝1112，32＝1618＝4，2)52(52=12271027＝32)32(2，故填,∈,∈.(3)令n2+1=3，n＝±2，nN.令n2+1＝5，n＝±2，2∈N，故填,∈.(4)(因为｛y｜y＝x2｝中元素是数，而(-1，1)代表一个点),故填,∈.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来.(1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点；(2)高一数学课本中所有的难题；(3)方程x4+x2+2＝0的实数根；(4)图中阴影部分内所有的点(含边界上的点).思路解析:考查集合中元素的三条性质及有限集、无限集、空集的概念.解:(1)是无限集合.其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数.可用两种方法表示这个集合:描述法:{(x,y)|y=-x};图示法:如图中直线l上的点.(2)不是集合.“难题”的概念是模糊不确定的，实际上一道所谓的数学难题是“难者不会，会者不难”，因而这些难题不能构成集合.(3)是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程x4+x2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用描述法表示为:x∈R｜x4+x2+2=0｝.(4)是无限集合.其中元素是点，这些点必须落在图甲的阴影部分(包括边界上的点).图本身也可看成图示法表示，我们还可用描述法表示这个集合:｛(x,y)｜-1≤x≤2，-25≤y≤2，且xy≤0｝.2.下面有四个命题：①集合N中的最小元素为1；②方程（x-1）3（x+2）（x-5）=0的解集含有3个元素；③0∈；④满足1＋x＞x的实数的全体形成集合.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3思路解析:集合N表示自然数集，最小的自然数是0，故①不对；据集合中元素的互异性知方程（x-1）3（x+2）（x-5）=0有3个不同的解，分别是1、-2、5，所以②对；空集不含有任何元素，因此③错；1＋x＞x表示x可以为任意实数，④对.答案:C3.（1）实数a、b满足关系_________时，集合A={x|ax+b=0}是有限集；（2）a、b满足关系_________时，集合A={x|ax+b=0}为无限集；（3）a、b满足关系_________时，集合A={x|ax+b=0}为空集.思路解析:（1）集合A={x|ax+b=0}是有限集，即方程ax+b=0有有限个解，即x=-ab存在.因此a≠0，b∈R.（2）集合A={x|ax+b=0}是无限集，即方程ax+b=0有无限个解.∴a=b=0.（3）集合A={x|ax+b=0}为空集，即方程ax+b=0无解.∴a=0，b≠0.答案:(1)a≠0，b∈R(2)a=b=0(3)a=0，b≠04.下面有四个命题：①若-a∈N，则a∈N；②若a∈N，b∈N，则a+b的最小值是0；③x2+4=4x的解集可表示为{2，2}；④高一（6）班个子较高的学生可构成一个集合.其中正确命题的序号是_____________.思路解析:N是自然数集，∴-a∈N，则a∈N不正确；x2+4=4x的解集为{2}，单元素集；个子较高的学生是不确定的.∴只有②正确.答案:②5.已知A={2,x},B={xy,1},若A=B,则x+y=_____________.思路解析:两个集合相等,则两个集合的元素完全相等,则有x=1,xy=2,将x=1代入xy=2得y=2.∴x+y=3.答案:36.已知集合A＝｛p｜x2+2(p-1)x+1=0,x∈R｝，求一次函数y＝2x-1，x∈A的取值范围.思路解析:关键是理解集合A中元素的属性.p的取值范围必须满足关于x的一元二次方程x2+2(p-1)x+1=0有实数根.解:由已知Δ＝4(p-1)2-4≥0,得p≥2或p≤0,所以A＝｛p｜p≥2或p≤0｝.因为x∈A，所以x≥2或x≤0.所以2x-1≥3或2x-1≤-1.所以y的取值范围是｛y｜y≤-1或y≥3｝.快乐时光道破天机父亲心血来潮,测试儿子:“宝贝,你晓得什么话能一语道破天机吗?”“爸爸,”儿子很快回答:“天气预报!”30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下面六种表示法：①｛x＝-1，y=2｝；②｛(x,y)｜x=-1,y=2｝；③｛-1，2｝；④(-1，2)；⑤｛(-1，2)｝；⑥｛(x,y)｜x＝-1或y＝2｝.能正确表示方程组03,02yxyx的解集的是()A.①②③④⑤⑥B.①②④⑤C.②⑤D.②⑤⑥思路解析:由于此方程组的解是,2,1yx因而写成集合时，应表示成一对有序实数(-1，2).集合①既非列举法，又非描述法.集合③表示由-1和2两个数组成的集合.④是一个点.⑥中的元素是(-1，y)或(x,2)，x、y∈R是一个无限集，以上均不合题意.答案:C2.已知x、y、z为非零实数，代数式||||||||xyzxyzzzyyxx的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A.0MB.2∈MC.-4MD.4∈M思路解析:分四种情况讨论:x、y、z中三个都为正，代数式值为4；x、y、z中两个为正，一个为负，代数式值为0；x、y、z中一个为正，两个为负，值为0；x、y、z都为负数时，代数式值为-4.∴选D.答案:D3.已知集合S={a，b，c}中的三个元素可构成△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形思路解析:由集合元素的互异性，知a、b、c各不相同.∴选D.答案:D4.已知x∈{1，2，x2}，则x=_______________.思路解析:由集合的定义可求，分别设x＝1，2，x2，再求解即可，但要注意的是求出的根不能违背集合元素的互异性.答案:0或25.若1∈{x|x2+px+q=0}，2∈{x|x2+px+q=0}，求p、q的值.思路解析:考查集合中元素的确定性，首先注意集合的代表元素，然后看元素的特点.由已知两集合中的元素分别为一元二次方程x2+px+q=0的解，最后利用方程解的定义或根与系数的关系求解.解法一:∵1∈{x|x2+px+q=0}，2∈{x|x2+px+q=0}，∴1，2都是方程x2+px+q=0的解，即1，2都适合方程，分别代入方程，得)2()1(,024,01qpqp②-①得3+p=0.∴p=-3.代入①，得q=-（p+1）=2.故所求p、q的值分别为-3，2.解法二:∵1∈{x|x2+px+q=0}，2∈{x|x2+px+q=0}，∴1和2都是方程x2+px+q=0的解.由根与系数的关系知.21,21qp故所求p=-3，q=2.6.设S={x|x=m+n2，m、n∈Z}.（1）若a∈Z，则a是否是集合S中的元素?（2）对S中的任意两个x1、x2，则x1+x2、x1·x2是否属于S?思路解析:考查集合与元素的关系.要正确理解集合的表示形式.解:（1）a是集合S的元素，因为a=a+0×2∈S.（2）不妨设x1=m+n2，x2=p+q2，m、n、p、q∈Z.则x1+x2=（m+n2）+（p+q2）=（m+n）+（p+q）2，m、n、p、q∈Z.∴x1+x2∈S，x1·x2=（m+n2）·（p+q2）=（mp+2nq）+（mq+np）2，m、n、p、q∈Z.∴x1x2∈S.综上，x1+x2、x1·x2都属于S.7.已知集合A={x｜ax2＋2x＋1=0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素.思路解析:弄清集合元素的特征和元素与集合的关系，应用等价转化和分类讨论思想.分类时，要注意不重不漏.形如ax2+2x+1=0的方程要注意的是当a=0时为一个一次方程.这里集合A为单元素集，即方程ax2+2x+1=0有唯一解或两个相等的实数解.由于此方程二次项的系数不确定，所以要对a分类讨论.解:对a分类讨论:①a=0时，x=-21；②a≠0时，Δ=4-4a=0，所以a=1，此时x=-1.8.已知集合A=｛1，a，b｝，B=｛a，a2，ab｝，且A=B，求实数a、b.思路解析:根据集合以及集合相等的概念，分别列出两个集合中可能相等的元素，得到方程后要验证所求值是不是符合要求，主要看是否符合元素的互异性.解法一:由集合元素的互异性观察A={1，a，b}，知a≠1，b≠1.∵A=B，∴a2=1或ab=1.当a2=1时，∵a≠1，∴a=-1.此时，A={1，-1，b}，B={-1，1，-b}.那么b=-b，即b=0.当ab=1时，即a=b1，此时A={1，b1，b}，B={b1，21b，1}.那么b=21b，即b=1.∵b≠1，∴ab=1时无解.故a=-1，b=0.解法二:∵A=B，∴,1,122abaabaabaaba即.0)1(,0)1)(1(3aabbaa由集合元素的互异性，有a≠1，a≠0.解方程组，得a=-1，b=0.9.设集合A={x｜x36∈Z，x∈N}，试用列举法表示集合.思路解析:由x36∈Z，可见3-x必为6的因数，则对此遍取6的诸因数，然后再验证.解:∵x36∈Z，∴3-x可取±1、±2、±3、±6.又x∈N，∴A={0,1，2，4，5，6，9}.10.观察下面三个集合,回答下面问题：①{x|y=x2+1}；②{y|y=x2+1}；③{（x，y）|y=x2+1}.（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？思路解析:此题考查集合的概念，两个集合相同，要求两个集合中的元素都要相同，元素相同就要求元素的种类、属性和数量都要相同.判断集合是不是相同，要看集合的元素是不是相同.解:（1）不是相同的集合.（2）集合①是函数y=x2+1的自变量x所允许取到的值组成的集合，因为x可以取任意实数，所以{x|y=x2+1}=R；集合②是函数y=x2+1的所有函数值y所允许取到的值组成的集合，由二次函数图象知，y≥1，所以{y|y=x2+1}={y|y≥1}；集合③是函数y=x2+1图象上的所有点的坐标组成的集合.如图所示: