高等电磁理论课件第3章-基本波函数

第1章电磁理论基本方程*第1章电磁理论基本方程*1.1麦克斯韦方程1.2物质的电磁特性*1.3边界条件和辐射的条件1.4波动方程*1.5辅助位函数及其方程#1.6赫兹矢量1.7电磁能量和能流第2章基本原理和定理2.1亥姆霍兹定理2.2唯一性定理2.3镜像定理*#2.4等效定理2.5感应原理2.6巴比涅原理#2.7互易定理2.8线性系统的算子方程第3章基本波函数*3.1标量波函数*#3.2平面波，柱面波和球面波用标量基本波函数展开3.3理想导电圆柱对平面波的散射3.4理想导电圆柱对柱面波的散射3.5理想导电劈对柱面波的散射3.6理想导电圆筒上的孔隙辐射3.7理想导电圆球对平面波的散射3.8理想导电圆球对球面波的散射*3.9分层媒质上的电偶极子*3.10矢量波函数注：“*”表示重点，“#”表示难点，“★”表示涉及学科前沿背景求解无源区的电磁场的问题可以归结为一定边界条件下的齐次矢量亥姆霍兹方程的求解。有一些电磁场问题，可以转化为一定边界条件下标量亥姆霍兹方程的求解。而当某些电磁场问题具有特殊的边界，以至于在相当的坐标中可用分离变量法求出齐次亥姆霍兹方程的通解时，就可以用这些通解构成具体电磁场问题的特解。也就是说，用分离变量法求出的这些通解形式是亥姆霍兹方程的基本波函数，可以将具有相同边界条件的场用基本波函数展开，那么只要求出展开系数，就可以确定场。本章介绍3种常用坐标系中基本波函数的求解，以及基本波函数在电磁场问题中一些应用。3.1标量波函数标量波函数是齐次标量亥姆霍兹方程的基本解，也就是标量亥姆霍兹方程对应算子的本征函数。下面分别求解在直角坐标系、圆柱坐标和球坐标系中标量亥姆霍兹方程的标量波函数。（1）直角坐标系中的标量波函数在直角坐标系中，标量亥姆霍兹方程具有以下形式：22222220ψψψkψxyz抖?+++=抖?(3-1)将式（3－1）的解写成()()()ψXxYyZz=形式，代入上式后除以ψ，得22222221110dXdYdZkXdxYdyZdz+++=(3-2)要使上式对任意得,,xyz都成立，其中每一项必须等于常数，若令前3项分别等于常数222,xyzkkk---和，则得到3个常微分方程2220xdXkXdx+=(3-3a)2220ydYkYdy+=(3-3b)2220zdZkZdz+=(3-3c)式中3个分离常数,,xyzkkk满足下列方程：2222xyzkkkk++=(3-4)上式说明，3个分离常数中仅有两个是独立的。上述3个分离的二阶常微分方程类型相同，称为谐方程。其解具有相同的结构，可以是正弦函数、余弦函数或指数函数，通称为谐函数，通常用(),()()xyzhkxhkyhkz和表示。因此，标量亥姆霍兹方程的解可以表示为()()()xyzψhkxhkyhkz=（3-5）式中h表示正弦函数、余弦函数或指数函数中的任一种谐函数。各种谐函数的性质[以()xhkx为例]在表3-1中列出。对于具体问题的给定边界条件，必须适当选择谐函数的类型。式（3-5）通称为基本波函数。谐函数()xhkx'''xxxkkjk=-函数的表示波动特性xjkxe-''0xk='0xk=复数xk'xjkxe-''xkxe-'''xxkxjkxee--向x方向传播的等幅行波随x衰减的凋落波向x方向传播的衰减行波xjkxe''0xk='0xk=复数xk'xjkxe''xkxe'''xxkxjkxee向x-方向传播的等幅行波随x-衰减的凋落波向x-方向传播的衰减行波sinxkx''0xk='0xk='sinxkx''sinhxkx沿x分布的正弦驻波两种凋落波的合成cosxkx''0xk='0xk='cosxkx''coshxkx沿x分布的余弦驻波两种凋落波的合成表3-1谐函数的类型及对应的性质基本波函数的线性组合必定也是标量亥姆霍兹方程的解。式（3-4）中的分离常数只有两个是独立的，因此，对两个分离常数的可能选择求和，就能构成更一般的波函数。如果分离常数具有一些离散值，标量亥姆霍兹方程的一种解就可以写成求和形式，例如,()()()xyyxkkxyzkkAhkxhkyhkz=邋Ψ(3-6)式中,xykkA是与,,xyzkkk有关的常数。任何具体问题所需的,,xyzkkk值由具体问题的边界条件的确定，称为本征值或特征值。通常在有限区域（如波导或谐振腔中），解的特征是本征值具有离散谱，也就是本征值取一些离散值；而在无限区（如在天线周围），本征值具有连续谱，也就是本征值取连续值。在本征值为连续谱的情况下，标量亥姆霍兹方程的一种解就可以写成积分的形式，例如(,)()()()yxxyxyzxykkAkkhkxhkyhkzdkdkΨ=蝌（3-7）标量亥姆霍兹方程的解取基本波函数为指数形式()xyzjkxkykzψe-++=（3-8）如果,,xyzkkk均为实数，定义传播矢量k为xxyyzzkkk=++keee（3-9）在圆球坐标中，,,xyzkkk可用传播矢量k的极角kθ和方位角kφ表示为sincosxkkkωμεθφ=(3-10a)sinsinykkkωμεθφ=(3-10b)coszkkωμεθ=(3-10c)式（3-8）可写为jψe-?=kr（3-11）由此可见，,,xyzkkk为实数时基本波函数表示沿空间角kθ，kφ方向传播的平面波。将式（3-11代入式（3-6）及式（3-7）得,xyyxjkkkkAe-?=邋krΨ(3-12)(,)yxjxyxykkAkkedkdk-?=蝌krΨ(3-13)以上两式说明，标量亥姆霍兹方程的解可以表示成不同传输方向的平面波之和，(,)xyAkk称为(,,)xyzΨ的波谱或角谱。zkkkyx（2）圆柱坐标系中的标量波函数在圆柱坐标系中，可令()Φ()()ψRρφZz=（3-14）代入220ψkψ?=，可得下列3个独立的常微分方程222222()0ρdRdRρρkρnRdρdρ++-=（3-15）222ΦΦ0dndφ+=（3-16）2220zdZkZdz+=（3-17）式中222ρzkkk+=（3-18）式（3-16）及式（3-17）为谐函数，其解为谐函数()hnφ和()zhkz。考虑到函数Φ()φ随φ的变化以2π为周期，因此常数n应为整数，即n=0,1,2,…。式（3-15）为贝塞尔方程，其解为柱贝塞尔函数，也称为柱函数，用()nρBkρ表示，称为第n阶贝塞尔函数。柱贝塞尔函数有多种类型：第一类柱贝塞尔函数通常称为贝塞尔函数，以()nρJkρ表示，称为第n阶贝塞尔函数。当n为整数时，可由下列级数表示201J()(1)()!()!2ρknknρkkρkρknk¥+==-+å（3-19）第二类贝塞尔函数又称为诺依曼函数，以()nρNkρ表示。它与第一类贝塞尔函数的关系为cos()()N()limsinνρνρnρνnνπJkρJkρkρνπ-®-=（3-20）当0ρ®时，()nρNkρ。当n为整数时，()nρNkρ为贝塞尔方程的另一个线性无关的解。第三类柱贝塞尔函数又称为汉开尔函数。汉开尔函数又分为第一类汉开尔函数和第二类汉开尔函数，分别用(1)H()nρkρ和(2)H()nρkρ表示，它们与第一类及第二类柱贝塞尔函数之间的关系分别为(1)H()J()jN()nρnρnρkρkρkρ=+(3-21a)(2)H()J()jN()nρnρnρkρkρkρ=-(3-21b)几类柱贝塞尔函数的大宗量渐进分别为221J()cos()4nxnxxππx+-®(3-22a)221N()sin()4nxnxxππx+-®(3-22b)21()(1)42()njxπnxHxeπx+-®(3-22c)21()(2)42()njxπnxHxeπx+--®(3-22d)从以上几类柱贝塞尔函数的大宗量渐进式可以看出用这几类贝塞尔函数所表示的波的特性。当22zkk时，ρk为虚数，令ρkjκ=，则式（3-15）变为222222()0dRdRρρκρnRdρdρ+-+=（3-23）上式称为修正贝塞尔方程，其解为修正贝塞尔函数。修正贝塞尔函数又分为第一类修正贝塞尔函数和第二修正贝塞尔函数，分别以I()nκρ和K()nκρ表示，其定义为I()jJ(j)nnnρκρkρ-=（3-24a）()()()limsin2ννnνnIκρIκρπKκρνπ-®-=(3-24b)修正贝塞尔函数的大宗量渐进式分别为1()2xnxIxeπx®（3-25a）()2xnxπKxeπ-®(3-25b)在附录中列出了贝塞尔函数和修正贝塞尔函数的性质及有关迭推公式，有关贝塞尔函数更详细的内容请查阅数学物理方程、数学物理方法等书籍。由式（3-14），在圆柱坐标中，基本波函数为(,,)()()()nρzψρφzBkρhnφhkz=（3-26）式中柱贝塞尔函数()nρBkρ的类型可根据具体电磁场的特征选取。当()nρBkρ选为第一类汉开尔函数(1)()nρHkρ或第二类汉开尔函数(2)()nρHkρ时，基本波函数分别表示向内或向外的柱面波。在圆柱坐标系的基本波函数中，本征值n为离散谱，而zk或ρk值为离散谱还是连续谱取决于边界情况。由于各种可能的n和zk取值所对应的基本波函数都是标量亥姆霍兹方程的解，因此，在本征值zk为离散谱的情况下，标量亥姆霍兹方程的通解为,Ψ(,,)()()()zznkρznkρφzABkρhnφhkz=邋（3-27）在本征值zk为连续谱的情况下，标量亥姆霍兹方程的通解为Ψ(,,)(,)()()()zznρzznkρφzAnkBkρhnφhkzdk=åò（3-28）在圆球坐标系中，令(,,)()Θ()Φ()ψrθφRrθφ=（3-29）代入220φkφ?=中，可得下列3个独立的常微分方程222222[(1)]0dRdRrrkrnnRdrdr++-+=（3-30）22222Θ(1)2[(1)]Θ01ddRmxxnndxdrx--++-=-（3-31）222ΦΦ0dmdφ+=（3-32）式中cosxθ=（3-33）式（3-32）是谐方程，其解为谐函数()hmφ，为保证以2π为周期，m应为包含零的正整数。式（3-30）中n是整数，此方程是球贝塞尔方程，其解为球贝塞尔函数，用()nbkr表示。球贝塞尔函数也有4种类型，分别是第一类球贝塞尔函数()njx、第二类球贝塞尔函数()nnx、第一类球汉开尔函数(1)()nhx和第二类汉开尔函数(2)()nhx。（3）圆球坐标系中的标量波函数球贝塞尔函数与整数阶柱贝塞尔函数的关系为12b()()2nnπkrBkrkr+=（3-34）半整数阶贝塞尔函数的特性见附录。式（3—31）是连带勒让德方程，其解称为连带勒让德函数(cos)mnLθ。连带勒让德函数又分为第一类连带勒让德函数mnP()x与第二类连带勒让德函数()mnQx，其定义为22P()(1)P()mmmnnmdxxxdx=-（3-35）22Q()(1)Q()mmmnnmdxxxdx=-（3-36）式中21()(1)2!nnnnndPxxndx=-（3-37）11111Q()P()(ln)P()P()21nnnknkkxxxxxxk--=+=--å（3-38）式（3-37）和式（3-38）分别称为第一类勒让德函数()nPx和第二类勒让德函数Q()nx。当0m=，即场与φ无关时，相应的方程称为勒让德方程，且P()P(),Q()Q()mmnnnnxxxx==。由式（3-37）可以看出，P()nx为n次多项式，因此，当mn时，mnP()x为零。由式（3-29），圆球坐标系中的标量基本函数为(,,)()(cos)()mnnψrθφbkrLθhmφ=（3-39）当()nbkr选为第一类球汉开尔函数(1)()nhkr或第二类球汉开尔函数(2)()nhkr时，基本波函数分别表示向内或向外的球面波。由圆球坐标系中的标量基本波函数展开的标量亥姆霍兹方程的通解为,Ψ(,,)()(cos)()mmnnnmnrθφAbkrLθhmφ=邋（3-40）课后学习：球谐函数3.2平面波、柱面波和球面波用标量基本波函数展开及应用(1)平