2011年上海市数学高考真题理

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）1．函数1()2fxx的反函数为1()fx_______________.2．若全集UR，集合10Axxxx，则UAð______________.3．设m是常数，若点(0,5)F是双曲线2219yxm的一个焦点，则m_______________.4．不等式13xx的解为_____________.5．在极坐标系中，直线(2cossin)2与直线cos1的夹角的大小为__________.（结果用反三角函数值表示）6．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若75CAB，60CBA,则A、C两点之间的距离为___________千米7．若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_______________.8．函数sincos26yxx的最大值为________________.9．马老师从课本上抄录的一个随机变量的概率分布律如下表：请小牛同学计算的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E__________________.10．行列式,,,1,1,2ababcdcd所有可能的值中，最大的是_______________.11．在正三角形ABC中，D是BC上的点，若3AB，1BD，则AB·CD___________.12．随机抽取的9为同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为___________(默认每个月的天数相同，精确到0.001）13．设()gx是定义在R上，以周期为1的函数，若函数()()fxxgx在区间3,4上的值域为2,5，则()fx在区间10,10上的值域为_____________.2011年上海市数学高考真题（理）14．已知点(0,0)O、0(0,1)Q和点0(3,1)R，记00QR的中点为1P，取01QP和10PR中的一条，记其端点为1Q、1R，使之满足11220OQOR，记11QR的中点为2P，取12QP和21PR中的一条，记其端点为2Q、2R，使之满足22220OQOR依次下去，得到12,,,,,nPPP则0limnnQP=________________.二、选择题（本大题共4小题，满分20分）15．若,abR，且0ab，下列不等式中，恒成立的是（）A．222ababB．2ababC．112ababD．2baab16．下列函数中，既是偶函数，又是在区间0,上单调递减的函数是()A．1lnyxB．3yxC．2xyD．cosyx17．设12345,,,,AAAAA是平面上给定的5个不同点则使12345MAMAMAMAMA=0成立的点M的个数为（）A．0B．1C．5D．1018．设na是各项为正数的无穷数列，1A是边长为1,iiaa的矩形面积（1,2,i），则nA为等比数列的充要条件是（）A．na是等比数列.B．1321,,,,naaa或242,,,naaa是等比数列.C．1321,,,,naaa和242,,,naaa均是等比数列.D．1321,,,,naaa和242,,,naaa均是等比数列，且公比相同.三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）19．已知复数1z满足1(2)(1)1zii（i为虚数单位），复数2z的虚部为2，且1z·2z是实数，求2z.20．已知函数()fxa·2xb·3x，其中,ab满足a·0b（1）若a·0b，判断函数()fx的单调性；（2）若a·0b，求(1)()fxfx时的x的取值范围.21．已知1111ABCDABCD是底面边长为1的正四棱柱，1O为11AC与11BD的交点.（1）设1AB与底面1111ABCD所成角的大小为，二面角111ABDA的大小为，求证：tan2tan；（2）若点C到平面11ABD的距离为43，求正四棱柱1111ABCDABCD的高.22．已知数列na和nb的通项公式分别为*36,27,()nnanbnnN.将集合**,,nnxxanNxxbnN中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,ncccc（1）写出1234,,,cccc；（2）求证：在数列nC中，但不在数列nb中的项恰为242,,,,naaa；（3）求数列nC的通项公式.23．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作(,)dPl（1）求点(1,1)P到线段:30,(35)lxyx的距离(,)dPl；（2）设l是长为2的线段，求点的集合(,)1DPdPl所表示的图形面积；（3）写出到两条线段12,ll距离相等的点的集合12(,)(,)PdPldPl，其中12,lABlCD，,,,ABCD是下列三组点中的一组.对于以下三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，按照序号较小的解答计分①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)ABCD.②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)ABCD.③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)ABCD.参考答案1、12x2、{|01}xx3、164、0x或12x5、25arccos56、67、338、2349、210、611、15212、0.98513、[15,11]14、315、D16、A17、B18、D19、242zi20、（1）当0,0ab时，函数()fx在R上是增函数；当0,0ab时，函数()fx在R上是减函数（2）当0,0ab时，1.5log()2axb；当0,0ab时，1.5log()2axb21、（1）证明略（2）2h22、（1）12349,11,12,13cccc（2）证明略（3）*63(43)65(42),66(41)67(4)nknkknkckNknkknk23、（1）5（2）4S（3）①{(,)|0}xyx；②2{(,)|0,0}{(,)|4,20}xyxyxyyxy{(,)|10,1}xyxyx③{(,)|0,0}{(,)|,01}xyxyxyyxx2{(,)|21,12}{(,)|4230,2}xyxyxxyxyx