2012年上海市数学高考真题文

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）1．计算：31ii=________（i为虚数单位）.2．若集合{|210}Axx，{|1}Bxx，则AB=________.3．函数sin2()1cosxfxx的最小正周期是________.4．若(2,1)n是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱表面积为________.6．方程14230xx的解是________.7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，12为公比的等比数列，体积分别记为12,,,,nVVV，则12lim()nnVVV________.8．在61()xx的二项展开式中，常数项等于________.9．已知()yfx是奇函数.若()()2gxfx且(1)1g.，则(1)g________.10．满足约束条件||2||2xy的目标函数zyx的最小值是________.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||BMCNBCCD，则·AMAN的取值范围是________.13．已知函数()yfx的图像是折线段ABC，其中1(0,0),,1,(1,0)2ABC.函数()(01)yxfxx的图像与x轴围成的图形的面积为________.14．已知1()1fxx.各项均为正数的数列{}na满足11a，2()nnafa.若20102012aa，则2011aa的值是________.二、选择题（本大题共4小题，满分20分）2012年上海市数学高考真题（文）15．若12i是关于x的实系数方程20xbxc的一个复数根，则（）A．2,3bc.B．2,1bc.C．2,1bc.D．2,3bc.16．对于常数m、n，“0mn”是“方程221mxny的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件.B．必要不充分条件C．充分必要条件.D．既不充分也不必要条件.17．在ABC中，若222sinsinsinABC，则ABC的形状是（）A．钝角三角形.B．直角三角形.C．锐角三角形.D．不能确定.18．若2sinsin77nS*sin()7nnN，则在12100,,,SSS中，正数的个数是（）A．16.B．72.C．86.D．100.三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）19．如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点.已知,2,232BACABAC，PA2.求：（1）三棱锥PABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.20．已知函数()lg(1)fxx.（1）若0(12)()1fxfx，求x的取值范围；（2）若()gx是以2为周期的偶函数，且当01x时，有()()gxfx，求函数()ygx([1,2])x的反函数.21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249yx；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.（1）当0.5t时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22:21Cxy.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点.若||22MF，求过M点的坐标；（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为(||2)kk的直线l交C于P、Q两点，若l与圆221xy相切，求证：OPOQ；23．对于项数为m的有穷数列数集{}na，记12max{,,,}kkbaaa（k=1,2,…,m），即kb为12,,,kaaa中的最大值，并称数列{}nb是{}na的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列{}na的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{}na；（2）设{}nb是{}na的控制数列，满足1kmkabC（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：kkba（k=1,2,…,m）；（3）设m=100，常数1,12a.若(1)22(1)nnnaann，{}nb是{}na的控制数列，求1122100100()()()bababa.参考答案1、12i2、1,123、4、1arctan25、66、2log37、878、-209、310、-211、2312、[1,4]13、1414、13532615、D16、B17、A18、C19、（1）433（2）3arccos420、（1）2133x（2）310xy，[0,lg2]x21、（1）救援船速度的方向为北偏东arctan730弧度；救援船速度的大小为949海里/时（2）救援船的时速至少是25海里才能追上失事船22、（1）6(,2)2M（2）24（3）证明略23、（1）数列{}na为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.（2）证明略（3）2525(1)a