2012年上海市数学高考真题理

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）1．计算：31ii________（i为虚数单位）．2．若集合|210,|1|2AxxBxx，则AB________．3．函数2cos()sin1xfxx的值域是________．4．若(2,1)n是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）.5．在62xx的二项展开式中，常数项等于________．6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,,,nVVV，则12lim()nnVVV________．7．已知函数||()xafxe（a为常数）．若()fx在区间[1,)上是增函数，则a的取值范围是________．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为________．9．已知2()yfxx是奇函数，且(1)1f，若()()2gxfx，则(1)g________．10．如图，在极坐标系中，过点(2,0)M的直线l与极轴的夹角6，若将l的极坐标方程写成()f的形式，则()f________．11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________（结果用最简分数表示）．12．在平行四边形ABCD中，3A，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||BMCNBCCD，则·AMAN的取值范围是________．13．已知函数()fx的图象是折线段ABC，其中(0,0)A、1,52B、(1,0)C，函数()(01)yxfxx的图象与x轴围成的图形的面积为________．2012年上海市数学高考真题（理）14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，2BC，若2ADc，且2ABBDACCDa，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）15．若12i是关于x的实系数方程20xbxc的一个复数根，则（）A．2b，3cB．2b，3cC．2b，1cD．2b，1c16．在ABC中，若222sinsinsinABC，则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定17．设45123451010,10xxxxx，随机变量1取值1x、2x、3x、4x、5x的概率均为0.2，随机变量2取值122xx、232xx、342xx、452xx、512xx的概率也均为0.2，若记1D、2D分别为1、2的方差，则（）A．12DDB．12DDC．12DDD．1D与2D的大小关系与1x、2x、3x、4x的取值有关18．设121sin,25nnnaSaanna，在12100,,SSS中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．100三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）19．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点，已知2AB，AD=22，2PA，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．20．已知()lg(1)fxx（1）若0(12)()1fxfx，求x的取值范围；（2）若()gx是以2为周期的偶函数，且当01x时，有()()gxfx，求函数()ygx([1,2])x的反函数．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249yx；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线221:21Cxy．（1）过1C的左顶点引1C的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交1C于P、Q两点，若l与圆221xy相切，求证：OPOQ；（3）设椭圆222:41Cxy，若M、N分别是1C、2C上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值．23．对于数集121,,,,nXxxx，其中120,2nxxxn，定义向量集|(,),,YaastsXtX，若对任意1aY，存在2aY，使得120aa，则称X具有性质P．例如1,1,2具有性质P．（1）若2x，且1,1,2,x具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1X，且当1nx时，11x；（3）若X具有性质P，且121,xxq（q为常数），求有穷数列12,,,nxxx的通项公式．参考答案1、12i2、1,323、53,224、1arctan25、-1606、877、(,1]8、339、-110、1sin611、2312、[2,5]13、5414、22213cac15、B16、C17、A18、D19、（1）23（2）420、（1）2133x（2）310xy，[0,lg2]x21、（1）救援船速度的方向为北偏东arctan730弧度.救援船速度的大小为949海里/时（2）救援船的时速至少是25海里才能追上失事船22、（1）28（2）证明略（3）证明略23、（1）4（2）证明略（3）1,1,2,iixqin