2015年上海数学高考真题理

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）1．设全集UR．若集合A1,2,3,4，B23xx，则UABð____________．2．若复数z满足31izz，其中i为虚数单位，则z____________．3．若线性方程组的增广矩阵为122301cc，解为35xy，则12cc____________．4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a____________．5．抛物线22ypx（0p）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p____________．6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为____________．7．方程1122log95log322xx的解为____________．8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为____________（结果用数值表示）．9．已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线1C和2C．若1C的渐近线方程为3yx，则2C的渐近线方程为____________．10．设1fx为222xxfx，0,2x的反函数，则1yfxfx的最大值为____________．11．在10201511xx的展开式中，2x项的系数为____________（结果用数值表示）．12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1和2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12EE____________（元）．13．已知函数sinfxx．若存在1x，2x，···，mx满足1206mxxx，且12231···12nnfxfxfxfxfxfx（2m，*mN），则m的最小值为____________．2015年上海数学高考真题（理）14．在锐角三角形ABC中，1tanA2，D为边BC上的点，ABD与ACD的面积分别为2和4．过D作DEAB于E，DFAC于F，则DEDF____________．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）15．设1z，2zC，则“1z、2z中至少有一个数是虚数”是“12zz是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．已知点A的坐标为43,1，将OA绕坐标原点O逆时针旋转3至OB，则点B的纵坐标为（）A．332B．532C．112D．13217．记方程①：2110xax，方程②：2220xax，方程③：2340xax，其中1a，2a，3a是正实数．当1a，2a，3a成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根18．设P,nnnxy是直线21nxyn（*nN）与圆222xy在第一象限的交点，则极限1lim1nnnyx（）A．1B．12C．1D．2三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）19．如图，在长方体1111ABCDABCD中，1AA1，ABAD2，E、F分别是AB、BC的中点．证明1A、1C、F、E四点共面，并求直线1CD与平面11ACFE所成的角的大小.20．如图，A，B，C三地有直道相通，AB5千米，AC3千米，BC4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为ft（单位：千米）.甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设1tt时乙到达C地.（1）求1t与1ft的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11tt时，求ft的表达式，并判断ft在1,1t上得最大值是否超过3？说明理由.21．已知椭圆2221xy，过原点的两条直线1l和2l分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S.（1）设11A,xy，22C,xy，用A、C的坐标表示点C到直线1l的距离，并证明11212Sxyxy；（2）设1l与2l的斜率之积为12，求面积S的值.22．已知数列na与nb满足112nnnnaabb，*nN.（1）若35nbn，且11a，求数列na的通项公式；（2）设na的第0n项是最大项，即0nnaa（*nN），求证：数列nb的第0n项是最大项；（3）设10a，nnb（*nN），求的取值范围，使得na有最大值M与最小值m，且M2,2m.23．对于定义域为R的函数gx，若存在正常数T，使得cosgx是以T为周期的函数，则称gx为余弦周期函数，且称T为其余弦周期.已知fx是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设fx单调递增，00f，T4f.（1）验证sin3xhxx是以6为周期的余弦周期函数；（2）设ab．证明对任意,cfafb，存在0,xab，使得0fxc；（3）证明：“0u为方程cos1fx在0,T上得解”的充要条件是“0Tu为方程cos1fx在T,2T上有解”，并证明对任意0,Tx都有TTfxfxf.参考答案1、1,42、1142i3、164、cos1fx5、26、37、28、1209、32yx10、411、4512、0.213、814、161515、B16、D17、B18、A19、如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为1(2,0,1)A、1(0,2,1)C、(2,1,0)E、(1,2,0)F、(0,2,0)C、1(0,0,1)D.因为11(2,2,0)AC，(1,1,0)EF，所以11//ACEF，因此直线11AC与EF共面，即1A、1C、F、E共面.设平面11ACEF的法向量为(,,)nuyw，则nEF，1nFC，又(1,1,0)EF，1(1,0,1)FC，故00uvuw，解得uvw.取1u，得平面11ACFE的一个法向量(1,1,1)n.又1(0,2,1)CD,故111515CDnCDn.因此直线1CD与平面11ACFE所成的角的大小为15arcsin15．20、（1）138t.记乙到C时甲所在地为D，则158AD千米.在ACD中,2222cosCDACADACADA，所以13()418ftCD（千米）.（2）甲到达B用时1小时；乙到达C用时38小时，从A到B总用时78小时.当13788tt时，2224()(78)(55)2(78)(55)2542185fttttttt；当718t时，()55ftt.所以237254218,88()755,18tttfttt.因为ft在37,88上的最大值是334188f，ft在7,18上的最大值是7588f，所以ft在3,18上的最大值是3418，不超过3.21、（1）直线1l：110yxxy，点C到1l的距离12122211yxxydxy.221122ABOAxy，所以122112222ABCSSABdxyxy.（2）设1l：ykx，则2l：12yxk.设11(,)Axy，22(,)Cxy.由2221ykxxy，得212112xk.同理2222212211122kxkk由（1），22121221211222212212221221kkxxkSxyxyxkxxxkkkkk，整理得2S.22、（1）由13nnbb，得16nnaa，所以{}na是首项为1，公差为6的等差数列，故{}na的通项公式为65nan，*nN.（2）证明：由112()nnnnaabb，得1122nnnnabab.所以{2}nnab为常数列，1122nnabab，即1122nnabab因为0nnaa，*nN，所以011112222nnbabbab，即0nnbb.故nb的第0n项是最大项.（3）因为nnb，所以112nnnnaa，当2n时，112211nnnnnaaaaaaaa1122222nnnn2n.当1n时，1a，符合上式.所以2nna.因为0，所以222nna，21212nna.①当1时，由指数函数的单调性知，na不存在最大、最小值；②当1时，na的最大值为3，最小值为1，而32,21；③当10时，由指数函数的单调性知，na的最大值22M2a，最小值1ma，由2222及10，得102.综上，的取值范围是1,02.23、（1）易见()sin3xhxx的定义域为R，对任意xR,6(6)6sin()63xhxxhx，所以cos(6)cos(()6)cos()hxhxhx，即()hx是以6为余弦周期的余弦周期函数.（2）由于fx的值域为R，所以对任意,cfafb，c都是一个函数值，即有0xR，使得0fxc,若0xa，则由fx单调递增得到0cfxfa，与,cfafb矛盾，所以0xa.同理可证0xb.故存在0,xab使得0fxc.（3）若0u为cos1fx在0,T上的解，则0cos1fu，且0TT,2Tu，00cosTcos1fufu，即0Tu为方程cos1fx在T,2T上的解.同理，若0Tu为方程cos1fx在T,2T上的解，则0u为该方程在0,T上的解.以下证明最后一部分结论.由（2）所证知存在012340Txxxxx，使得ifxi，0i，1，2，3，4.而1[,]iixx是函数cos()fx的单调区间，0i，1，2，3.与之前类似地可以证明：0u是cos()1fx在0,T上的解当且仅当0Tu是cos()1fx在T,2T上的解.从而cos()1fx在[0,T]与[T,2T]上的解的个数相同.故(T)=f(x)4iifx，0i，1，2，3，4.对于1[0,]xx，()[0,]fx，(T)[4,5]fx,而cosTcosfxfx，故T4Tfxfxfxf.类似地，当1,iixxx，1i，2，3时，有TTfxfxf.结论成立.